Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 30. 10. 2020 15:13

kacik
Zelenáč
Příspěvky: 4
Pozice: student
Reputace:   
 

Indukce, určení počtu řešení

dobrý den, mám dotaz. Dostala jsem domácí úlohu a vůbec si s ní nevím rady... mate mě tam ta neznámá x

zadání je :
nechť $k, n \in \mathbb{N}.$ určete počet všech řešení rovnice.
 
$x_{1}+x_{2}+.....+x_{k}=n$

kde $x_{i} $ jsou celá čísla taková, že $x_{i} \ge -i  $ pro $1\le i\le k$
nápověda: může se hodit vzorec pro součet prvních l přirozených čísel $1+...+l=1/2l*(l+1)$

Offline

 

#2 31. 10. 2020 09:32

Honzc
Příspěvky: 4387
Reputace:   235 
 

Re: Indukce, určení počtu řešení

↑ kacik:
Sice moc nevím, co chtěl básník tím zadáním říci, (hlavně podmínkou xi>=-i) ale něco viz.tady str 14 a dále

Offline

 

#3 31. 10. 2020 10:20 — Editoval surovec (31. 10. 2020 11:19)

surovec
Příspěvky: 784
Reputace:   17 
 

Re: Indukce, určení počtu řešení

↑ kacik:
Zatím zkusím takto, třeba z toho někdo vypozoruje něco dalšího (počet řešení označím "p"):
k=1: p=n nad nulou,
k=2: p=n+4 nad jednou,
k=3: p=n+8 nad dvěma,
k=4: p=n+13 nad třemi.
Nevím, co s tím je, nezobrazují se mi LaTeXové výrazy....

Online

 

#4 31. 10. 2020 15:09

kacik
Zelenáč
Příspěvky: 4
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Indukce, určení počtu řešení

↑ surovec:

jak jsi přišel na ty čísla za n? (proč n+4 nebo n+8) ?

Offline

 

#5 31. 10. 2020 17:59

vanok
Příspěvky: 14355
Reputace:   740 
 

Re: Indukce, určení počtu řešení

Ahoj ↑ kacik:,
Ta podmienka $x_{i} \ge -i  $ je skutocne dana?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 31. 10. 2020 18:15

kacik
Zelenáč
Příspěvky: 4
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Indukce, určení počtu řešení

↑ vanok:

ano vážně to tam tak je :(

Offline

 

#7 31. 10. 2020 19:47

surovec
Příspěvky: 784
Reputace:   17 
 

Re: Indukce, určení počtu řešení

↑ kacik:
To je právě to, ta čísla jsem zjistil jen prostým určením počtu řešení pro konkrétní n a k. Takže nevím, jak je to obecně pro další káčka. Určitě jde o kombinační číslo, kde dole je k – 1.
Ale ještě se nad tím zamyslím.
Mimochodem, pěkný příkládek.

Online

 

#8 31. 10. 2020 20:30 — Editoval Honzc (31. 10. 2020 20:41)

Honzc
Příspěvky: 4387
Reputace:   235 
 

Re: Indukce, určení počtu řešení

↑ kacik:
Podle návodu od ↑ surovec: by to mohlo být: (bez záruky)
$p=\left(
\begin{matrix}
n+l+m\\
m
\end{matrix}
\right)$
kde $l=\left(
\begin{matrix}
k+1\\
2
\end{matrix}
\right)$ a $m=k-1$

Offline

 

#9 31. 10. 2020 20:38

surovec
Příspěvky: 784
Reputace:   17 
 

Re: Indukce, určení počtu řešení

↑ Honzc:
Zkusil jsem dopočítat i pro k=5 a pak by nahoře mělo být n+18, nikoliv n+19 jako dle tvého vzorce. Ale také bez záruky...

Online

 

#10 31. 10. 2020 21:19

surovec
Příspěvky: 784
Reputace:   17 
 

Re: Indukce, určení počtu řešení

↑ surovec:
Tak už vím, ale dost těžko se to vysvětluje:
$p=\binom{n+\frac{1}{2}(k^2+3k-2)}{k-1}$.

Online

 

#11 31. 10. 2020 22:07

kacik
Zelenáč
Příspěvky: 4
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Indukce, určení počtu řešení

↑ surovec:

sice to nechápu ale aspoň něco vím... děkuji :D

Offline

 

#12 31. 10. 2020 22:13 — Editoval surovec (31. 10. 2020 22:14)

surovec
Příspěvky: 784
Reputace:   17 
 

Re: Indukce, určení počtu řešení

↑ kacik:
Hele, zkus si do přehledné tabulky vypisovat počty řešení (třeba řádky jsou n a sloupce k). Jde tam o rekurentní vztah (využívají se počty pro "k" o jedničku nižší). V té tabulce si vypiš výsledky i pro n < 0 (řekněme od –10, káčko stačí do 4), abys pochopil princip.

Online

 

#13 31. 10. 2020 23:48

Bati
Příspěvky: 2393
Reputace:   188 
 

Re: Indukce, určení počtu řešení

Co takhle misto vypisovani cisel do tabulek se aspon minimalne zamyslet?
Vzdyt si to rika o substituci $y_i=x_i+i$, cimz dostanu rovnici $y_1+y_2+\ldots +y_k=n+\tfrac12k(k+1)$, kde $y_i\geq0$. To je pocet zpusobu jak rozstrihnout pasmo dlouhe $n+\tfrac12k(k+1)$ na $k$ casti, tj. kombinace s opkaovanim, takze okamzite dostavam
$\binom{n+\tfrac12k(k+1)+k-1}{k-1}=\binom{n+\tfrac12(k^2+3k-2)}{k-1}$.
To je uloha maximalne ze stredni..

Offline

 

#14 01. 11. 2020 05:44

Honzc
Příspěvky: 4387
Reputace:   235 
 

Re: Indukce, určení počtu řešení

↑ surovec:
Zdravím, ten tvůj vzoreček je ovšem úplně stejný jako ten můj.

Offline

 

#15 01. 11. 2020 08:40

surovec
Příspěvky: 784
Reputace:   17 
 

Re: Indukce, určení počtu řešení

↑ Honzc:
Máš pravdu...

Online

 

#16 01. 11. 2020 20:13

vanok
Příspěvky: 14355
Reputace:   740 
 

Re: Indukce, určení počtu řešení

Poznamka, na poucenie, pridam tu este odkaz na podobne cvicenie, no z obemedzeniami
https://math.stackexchange.com/question … anges?rq=1 .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson