Matematické Fórum

kacik · 30. 10. 2020 15:13

dobrý den, mám dotaz. Dostala jsem domácí úlohu a vůbec si s ní nevím rady... mate mě tam ta neznámá x

zadání je :
nechť $k, n \in \mathbb{N}.$ určete počet všech řešení rovnice.

$x_{1}+x_{2}+.....+x_{k}=n$

kde $x_{i}$ jsou celá čísla taková, že $x_{i} \ge -i$ pro $1\le i\le k$
nápověda: může se hodit vzorec pro součet prvních l přirozených čísel $1+...+l=1/2l*(l+1)$

Honzc · 31. 10. 2020 09:32

↑ kacik:
Sice moc nevím, co chtěl básník tím zadáním říci, (hlavně podmínkou xi>=-i) ale něco viz.tady str 14 a dále

surovec

↑ kacik:
Zatím zkusím takto, třeba z toho někdo vypozoruje něco dalšího (počet řešení označím "p"):
k=1: p=n nad nulou,
k=2: p=n+4 nad jednou,
k=3: p=n+8 nad dvěma,
k=4: p=n+13 nad třemi.
Nevím, co s tím je, nezobrazují se mi LaTeXové výrazy....

kacik · 31. 10. 2020 15:09

↑ surovec:

jak jsi přišel na ty čísla za n? (proč n+4 nebo n+8) ?

vanok · 31. 10. 2020 17:59

Ahoj ↑ kacik:,
Ta podmienka $x_{i} \ge -i$ je skutocne dana?

kacik · 31. 10. 2020 18:15

↑ vanok:

ano vážně to tam tak je :(

surovec · 31. 10. 2020 19:47

↑ kacik:
To je právě to, ta čísla jsem zjistil jen prostým určením počtu řešení pro konkrétní n a k. Takže nevím, jak je to obecně pro další káčka. Určitě jde o kombinační číslo, kde dole je k – 1.
Ale ještě se nad tím zamyslím.
Mimochodem, pěkný příkládek.

Honzc · 31. 10. 2020 20:30 — Editoval Honzc (31. 10. 2020 20:41)

↑ kacik:
Podle návodu od ↑ surovec: by to mohlo být: (bez záruky)
$p=\left( \begin{matrix} n+l+m\\ m \end{matrix} \right)$
kde $l=\left( \begin{matrix} k+1\\ 2 \end{matrix} \right)$ a $m=k-1$

surovec · 31. 10. 2020 20:38

↑ Honzc:
Zkusil jsem dopočítat i pro k=5 a pak by nahoře mělo být n+18, nikoliv n+19 jako dle tvého vzorce. Ale také bez záruky...

surovec · 31. 10. 2020 21:19

↑ surovec:
Tak už vím, ale dost těžko se to vysvětluje:
$p=\binom{n+\frac{1}{2}(k^2+3k-2)}{k-1}$ .

kacik · 31. 10. 2020 22:07

↑ surovec:

sice to nechápu ale aspoň něco vím... děkuji :D

surovec

↑ kacik:
Hele, zkus si do přehledné tabulky vypisovat počty řešení (třeba řádky jsou n a sloupce k). Jde tam o rekurentní vztah (využívají se počty pro "k" o jedničku nižší). V té tabulce si vypiš výsledky i pro n < 0 (řekněme od –10, káčko stačí do 4), abys pochopil princip.

Bati · 31. 10. 2020 23:48

Co takhle misto vypisovani cisel do tabulek se aspon minimalne zamyslet?
Vzdyt si to rika o substituci $y_i=x_i+i$ , cimz dostanu rovnici $y_1+y_2+\ldots +y_k=n+\tfrac12k(k+1)$ , kde $y_i\geq0$ . To je pocet zpusobu jak rozstrihnout pasmo dlouhe $n+\tfrac12k(k+1)$ na $k$ casti, tj. kombinace s opkaovanim, takze okamzite dostavam
$\binom{n+\tfrac12k(k+1)+k-1}{k-1}=\binom{n+\tfrac12(k^2+3k-2)}{k-1}$ .
To je uloha maximalne ze stredni..

Honzc · 01. 11. 2020 05:44

↑ surovec:
Zdravím, ten tvůj vzoreček je ovšem úplně stejný jako ten můj.

surovec · 01. 11. 2020 08:40

↑ Honzc:
Máš pravdu...

vanok · 01. 11. 2020 20:13

Poznamka, na poucenie, pridam tu este odkaz na podobne cvicenie, no z obemedzeniami
https://math.stackexchange.com/question … anges?rq=1 .

Matematické Fórum

#1 30. 10. 2020 15:13

Indukce, určení počtu řešení

#2 31. 10. 2020 09:32

Re: Indukce, určení počtu řešení

#3 31. 10. 2020 10:20 — Editoval surovec (31. 10. 2020 11:19)

Re: Indukce, určení počtu řešení

#4 31. 10. 2020 15:09

Re: Indukce, určení počtu řešení

#5 31. 10. 2020 17:59

Re: Indukce, určení počtu řešení

#6 31. 10. 2020 18:15

Re: Indukce, určení počtu řešení

#7 31. 10. 2020 19:47

Re: Indukce, určení počtu řešení

#8 31. 10. 2020 20:30 — Editoval Honzc (31. 10. 2020 20:41)

Re: Indukce, určení počtu řešení

#9 31. 10. 2020 20:38

Re: Indukce, určení počtu řešení

#10 31. 10. 2020 21:19

Re: Indukce, určení počtu řešení

#11 31. 10. 2020 22:07

Re: Indukce, určení počtu řešení

#12 31. 10. 2020 22:13 — Editoval surovec (31. 10. 2020 22:14)

Re: Indukce, určení počtu řešení

#13 31. 10. 2020 23:48

Re: Indukce, určení počtu řešení

#14 01. 11. 2020 05:44

Re: Indukce, určení počtu řešení

#15 01. 11. 2020 08:40

Re: Indukce, určení počtu řešení

#16 01. 11. 2020 20:13

Re: Indukce, určení počtu řešení

Zápatí