Matematické Fórum

sjaustirni · 15. 08. 2021 15:40

Ako sa riešia systémy lineárnych rovníc s parametrom? A teraz nemyslím prípady, keď zistíme, že jedna z premenných je voľná, ale prípady, keď paramater je koeficientom viacerých premenných.

Konkrétny prípad - 3 rovnice o 3 neznámych x, y, z + parameter t. Vyjadri x, y, z pomocou parametru t.
$\begin{align} x+\frac{2}{5}y+z=0\\ ty - \frac{2}{3}z = 0\\ tx- \frac{8}{5}y + \frac{7}{3}z = 1 \end{align}$

Tento príklad je pod textom o maticiach a ja netuším, ako sa to dá pomocou matíc riešiť. Bežný systém lineárnych rovníc sa dá riešiť pomocou Gaussovej eliminácie, ale s parametrom mi to nejako nejde, veď v takejto matici si neviem ani pivoty zoradiť pekne do do diagonály:
$\begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{5} & 1 & 0 \\ 0 & t & -\frac{2}{3} & 0 \\ t & -\frac{8}{5} & \frac{7}{3} & 1 \end{pmatrix}$

Chápem Gaussovu elimináciu nedostatočne, alebo tu odomňa chcú nejaký iný postup?

(Nejde mi tu až tak o riešenie príkladu, skôr nápad ako pristúpiť k riešeniu príkladu.)

laszky · 15. 08. 2021 16:37

↑ sjaustirni:

Ahoj. Spocti determinant matice a zjisti, pro ktera [mathjax]t[/mathjax] je nenulovy.
Pro tato [mathjax]t[/mathjax] bude mit soustava prave jedno reseni, ktere muzes napr. dopocitat pomoci Cramerova pravidla.

Je-li determinant matice soustavy nulovy, pak ma soustava bud nekonecne mnoho reseni, nebo zadne.
O kterou z techto dvou moznosti jde, zjistis dosazenim konkretne spoctenych [mathjax]t[/mathjax].

Tento postup se tyka soustavy se ctvercovou matici. Je-li matice obdelnikova, postup se (jen) trochu zkomplikuje.

Stýv · 15. 08. 2021 16:42

Gaussova eliminace funguje bez ohledu na nejaky parametry. Kdybys tam misto t mel treba 7, cim bys zacal? Asi bys odecetl od posledniho radku 7nasobek prvniho radku. Takhle proste odectes t-nasobek.

Richard Tuček · 15. 08. 2021 17:38

Zkusil bych to Cramérovým pravidlem.
Řešení bude pochopitelně záviset na parametru t.
Znáte Cramerovo pravidlo?

Gaussovou eliminací by to také mělo jít, ale je to pracnější.

sjaustirni · 15. 08. 2021 18:09

Tak mi to vyšlo pomocou Gaussovej eliminácie (dík ↑ Stýv:), ale bolo to fakt pracné, tak ma zaujíma to Cramerovo pravidlo.

↑ laszky: ten augmentovaný matrix v mojom príklade sa asi nedá považovať za štvorcovú maticu - ako sa komplikuje postup pri obdĺžnikovej matici?

↑ Richard Tuček: Cramerovo pravidlo nepoznám, ale akurát si ho pozerám.

Richard Tuček · 15. 08. 2021 18:48

Cramerovo pravidlo

spočteme determinant soustavy D
spočteme determinant x (koef. u x nahradím pravou stranou)
spočteme determinant y (koef. u y nahradím pravou stranou)
spočteme determinant z (koef. u z nahradím pravou stranou)

Pak počítáme: x=Dx/D; y=Dy/D; z=Dz/D;

Pokud je determinant D různý od nuly, má soustava právě jedno řešení.

sjaustirni · 15. 08. 2021 20:20

Super, Cramerovo pravidlo je oproti gaussovej eliminácii úplne easy.

MichalAld · 16. 08. 2021 23:38

↑ sjaustirni:
Jo, ale jen pro soustavu 3. řádu. Když bys měl rovnice 4, už to asi pravda nebude.

sjaustirni · 17. 08. 2021 14:46

↑ MichalAld: Existuje Cramerovo pravidlo pre iné než 2x2 alebo 3x3 sústavy?

MichalAld · 17. 08. 2021 15:58

No ano, Cramerovo pravidlo platí pro libovolný řád...
https://cs.wikipedia.org/wiki/Cramerovo_pravidlo

ale ten výpočet determinantu se dost rychle komplikuje.

sjaustirni · 18. 08. 2021 07:18

Jasne, to dáva zmysel. Dik ↑ MichalAld: :D

Matematické Fórum

#1 15. 08. 2021 15:40

Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

#2 15. 08. 2021 16:37

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

#3 15. 08. 2021 16:42

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

#4 15. 08. 2021 17:38

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

#5 15. 08. 2021 18:09

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

#6 15. 08. 2021 18:48

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

#7 15. 08. 2021 20:20

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

#8 16. 08. 2021 23:38

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

#9 17. 08. 2021 14:46

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

#10 17. 08. 2021 15:58

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

#11 18. 08. 2021 07:18

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

Zápatí