Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 15. 08. 2021 15:40

sjaustirni
Příspěvky: 112
Škola: AAU
Pozice: student
Reputace:   
 

Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

Ako sa riešia systémy lineárnych rovníc s parametrom? A teraz nemyslím prípady, keď zistíme, že jedna z premenných je voľná, ale prípady, keď paramater je koeficientom viacerých premenných.

Konkrétny prípad - 3 rovnice o 3 neznámych x, y, z + parameter t. Vyjadri x, y, z pomocou parametru t.
$\begin{align}
x+\frac{2}{5}y+z=0\\
ty - \frac{2}{3}z = 0\\
tx- \frac{8}{5}y + \frac{7}{3}z = 1
\end{align}$

Tento príklad je pod textom o maticiach a ja netuším, ako sa to dá pomocou matíc riešiť. Bežný systém lineárnych rovníc sa dá riešiť pomocou Gaussovej eliminácie, ale s parametrom mi to nejako nejde, veď v takejto matici si neviem ani pivoty zoradiť pekne do do diagonály:
$\begin{pmatrix}
1 & \frac{2}{5} & 1 & 0 \\
0 & t & -\frac{2}{3} & 0 \\
t & -\frac{8}{5} & \frac{7}{3} & 1
\end{pmatrix}$

Chápem Gaussovu elimináciu nedostatočne, alebo tu odomňa chcú nejaký iný postup?

(Nejde mi tu až tak o riešenie príkladu, skôr nápad ako pristúpiť k riešeniu príkladu.)

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) sjaustirni)

#2 15. 08. 2021 16:37

laszky
Příspěvky: 2130
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   187 
 

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

↑ sjaustirni:

Ahoj. Spocti determinant matice a zjisti, pro ktera [mathjax]t[/mathjax] je nenulovy.
Pro tato [mathjax]t[/mathjax] bude mit soustava prave jedno reseni, ktere muzes napr. dopocitat pomoci Cramerova pravidla.

Je-li determinant matice soustavy nulovy, pak ma soustava bud nekonecne mnoho reseni, nebo zadne.
O kterou z techto dvou moznosti jde, zjistis dosazenim konkretne spoctenych [mathjax]t[/mathjax].

Tento postup se tyka soustavy se ctvercovou matici. Je-li matice obdelnikova, postup se (jen) trochu zkomplikuje.

Offline

 

#3 15. 08. 2021 16:42

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5593
Reputace:   214 
Web
 

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

Gaussova eliminace funguje bez ohledu na nejaky parametry. Kdybys tam misto t mel treba 7, cim bys zacal? Asi bys odecetl od posledniho radku 7nasobek prvniho radku. Takhle proste odectes t-nasobek.

Offline

 

#4 15. 08. 2021 17:38

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 449
Reputace:   
Web
 

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

Zkusil bych to Cramérovým pravidlem.
Řešení bude pochopitelně záviset na parametru t.
Znáte Cramerovo pravidlo?

  Gaussovou eliminací by to také mělo jít, ale je to pracnější.

Offline

 

#5 15. 08. 2021 18:09

sjaustirni
Příspěvky: 112
Škola: AAU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

Tak mi to vyšlo pomocou Gaussovej eliminácie (dík ↑ Stýv:), ale bolo to fakt pracné, tak ma zaujíma to Cramerovo pravidlo.

↑ laszky: ten augmentovaný matrix v mojom príklade sa asi nedá považovať za štvorcovú maticu - ako sa komplikuje postup pri obdĺžnikovej matici?

↑ Richard Tuček: Cramerovo pravidlo nepoznám, ale akurát si ho pozerám.

Offline

 

#6 15. 08. 2021 18:48

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 449
Reputace:   
Web
 

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

Cramerovo pravidlo

spočteme determinant soustavy D
spočteme determinant x (koef. u x nahradím pravou stranou)
spočteme determinant y (koef. u y nahradím pravou stranou)
spočteme determinant z (koef. u z nahradím pravou stranou)

Pak počítáme:  x=Dx/D;  y=Dy/D;  z=Dz/D;

Pokud je determinant D různý od nuly, má soustava právě jedno řešení.

Offline

 

#7 15. 08. 2021 20:20

sjaustirni
Příspěvky: 112
Škola: AAU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

Super, Cramerovo pravidlo je oproti gaussovej eliminácii úplne easy.

Offline

 

#8 16. 08. 2021 23:38

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3806
Reputace:   105 
 

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

↑ sjaustirni:
Jo, ale jen pro soustavu 3. řádu. Když bys měl rovnice 4, už to asi pravda nebude.

Offline

 

#9 17. 08. 2021 14:46

sjaustirni
Příspěvky: 112
Škola: AAU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

↑ MichalAld: Existuje Cramerovo pravidlo pre iné než 2x2 alebo 3x3 sústavy?

Offline

 

#10 17. 08. 2021 15:58

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3806
Reputace:   105 
 

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

No ano, Cramerovo pravidlo platí pro libovolný řád...
https://cs.wikipedia.org/wiki/Cramerovo_pravidlo

ale ten výpočet determinantu se dost rychle komplikuje.

Offline

 

#11 18. 08. 2021 07:18

sjaustirni
Příspěvky: 112
Škola: AAU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Systém lineárnych rovníc s parametrom - základy

Jasne, to dáva zmysel. Dik ↑ MichalAld: :D

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson