Matematické Fórum

Pozitron napsal(a):

Dobrý den,
Mám zajímavý příklad, přiložím řešení a prosím o jeho opravu.
Zadání:
Ve třídě je 27 holek, bereme že každý měsíc má 29 dní, každá holka má každý měsíc menstruaci trvající 5 dní.
Jaká je šance že alespoň jednou za měsíc nastane den kdy mají právě tři holky menstruaci.

mé řešení:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Skrytý text:

první spočteme jaká je šance že v náhodný den mají právě tři holky menstruaci=[mathjax](\frac{5}{29})^{3}(\frac{24}{29})^{24}=0,0000546051=x[/mathjax]
potom je šance že tři holky nemají ve stejný den menstruaci [mathjax]1-x=0,9999453948=y[/mathjax]
poté je šance že tři holky nebudou mít najednou menstruaci [mathjax]y^{29}=0,99841766=z[/mathjax]
a nakonec šance že tři holky mají alespoň jednou za měsíc menstruaci ve stejný den je [mathjax]1-z=0,00158234=0,158234\% [/mathjax]

Tato úloha je nad možnosti středoškolské matematiky. Je nutné udělat mnoho výpočtů. Stručně vysvětlím problém :

A) Problém má základ v tom, že můžeme požadovat pouze 3 dívky s menstruací (jak vyplývá ze zadání), nikoliv více. Ve skutečnosti se dvě dívky mohou v rámci menstruace potkat až na intervalu 9 dní (například poslední den jedné dívky a první den druhé dívky). Konkrétně souběh je možný od 5-ti dní až do 9-ti dní.

B) Celkově je možné uvažovat : že se v jeden den potká menstruace u všech děvčat naráz.
Na druhém konci je extrém, kdy se nepotká menstruace u žádné dvojice dívek. Tento extrém je ale vyloužen biologicky, jinak by to bylo nejméně 27 x 5 = 135 dní. Pokud jde o 29 dní, pak 29/5 = cca 6 dívek. Slovy v intervalu 29 může nastat 1 případ z mnoha, kdy se u žádné ze šesti dívek menstruace nepotká.

C) Jde - li o výpočet všech různých možností, tedy se zadáním souběh menstruací včetně 3 a více dívek je nutno použít rozšířené hypergeometrické rozdělění, jehož základem je "partition" (správně Partitio Numerorum). Při postupu je nutno použít PN(27) i PN(29). PN(27) má 3010 řádků a PN(29) už 4565 řádků.

ad A) : Jen orientačně : Počet různých trojic z celku 27 = 2925

ad B) : Pokud 29 dní rozdělíme po pěti na 6 dílů například (4,5,5,5,5,5) dostaneme 331 vhodných řádků. Pokud rozdělíme na 7 dílů, například (2,5,5,5,5,5,2) dostaneme 364 vhodných řádků.

ad C) : V případě souběhu menstruací do jediného dne nenastane souběh ve 14-ti z 3010 možných případů = 2,92 %. Pravděpodobnost, že bude některý den menstruovat 3 a více dívek je veliká 97% a to je ve skutečnosti jen úvaha pro jediný den, ale menstruace trvá 5 dní.

Výpočty a ukázky z čeho vycházet na vyžádání připravím v sešitě Excel


PS

Špatně jsem si zapamatoval počet dívek ze zadání, není tam 24 dívek, ale 27. Celkem na tom nezáleží, protože čísla mimo ad A) byla správně. Nyní jsem to opravil.

pro Brano

Celkem nechápu jak to myslíte.

Brano napsal(a):

toto je typ prikladu, kde sa oplati to nasimulovat a byt spokojny s "experimentalnym" vysledkom

Já jsem měl na mysli těchto 14 uspořádání bez trojice z celku 3010. Rozložení do 29 dnů je shodné, jen by tam byly v každém řádku dvě nuly navíc.
2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0
2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0
2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0
2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0
2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0
2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0
2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0
2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0
2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1

Pozitron napsal(a):

Jaká je šance že alespoň jednou za měsíc nastane den kdy mají právě tři holky menstruaci

Takových případů nastane dost a je i dost případů kdy se vyskytnou 2 a více trojic (maximálně 9). Ještě by se mělo upřesnit, zda se může vyskytovat i větší k-tice, nežli trojice, ale i takových řádků, kde je jediná trojice a ostatní k-tice  jsou menší (dvojice a jednice) je dost.
1 trojice se vyskytuje v 783 řádcích (26,01 %)
2 trojice se vyskytují v 407 řádcích
3 trojice se vyskytují v 209 řádcích
4 trojice se vyskytují v 99 řádcích
5 trojic se vyskytuje v 47 řádcích
6 trojic se vyskytuje v 19 řádcích
7 trojic se vyskytuje v 8 řádcích
8 trojic se vyskytuje v 2 řádcích
9 trojic se vyskytuje v 1 řádku
Celkem se jedná o 1575 případů z celku 3010 = 52,33 %

Jak vidíte je to složitější. Autor nepředpokládal ani zdaleka, že by alespoň 1 trojice měla pravděpodobnost 26%. Pokud by existovalo upřesnění ve smyslu "největší k-tice a navíc jediná (trojice)" bylo by číslo také jiné celkem 13 řádků :

3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
3,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
3,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0
3,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0
3,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0
3,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0
3,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0
3,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0
3,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0
3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0

↑ Pozitron:
Ahoj. "Jaká je šance" znamená přesně co? Jaká je pravděpdoobnost? Nebo zda to vůbec může nastat?.....