Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 22. 05. 2022 10:55

pavelOLO
Zelenáč
Příspěvky: 1
Škola: Přf UPOL
Pozice: student
Reputace:   
 

vytvořující funkce

Dobrý den, potřeboval bych poradit s vytvořující funkcí z posloupnosti (1,-1,0,-1,1,0,1,-1,0,...)
Děkuji za pomoc a vaše nápady.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) jarrro)

#2 22. 05. 2022 12:21 — Editoval Pomeranc (22. 05. 2022 12:40)

Pomeranc
Příspěvky: 598
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Re: vytvořující funkce

Ahoj,

já tedy nejsem zadavatel problému, ale jelikož se mi ten příklad zdál zajímavý,
tak jsem to začala řešit. Nicméně pomoc s tím potřebuji asi také.

Vyřešit měnící se znaménka bylo celkem snadné, prostě (-1)**(n).
Ale jak vytvořit tam ty nuli, to bylo celkem náročné.

Nakonec mi vyšlo



což asi nesplňuje definici vytvořující se funkce.

Offline

 

#3 22. 05. 2022 13:18 — Editoval Jj (22. 05. 2022 13:55)

Jj
Příspěvky: 8640
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   589 
 

Re: vytvořující funkce

↑ pavelOLO:, ↑ Pomeranc:


Hezký den.

Řekl bych, napsat formálně mocninnou funkční řadu příslušnou k uvedené posloupnost koeficientů, tj.

[mathjax]1-1x+0x^2-1x^3+1x^4+0x^5+1x^6-1x^7+0x⁸+\cdots[/mathjax]

Takže Taylorův rozvoj vytvořující funkce by měl být

[mathjax]f(x)=1-x-x^3+x^4+x^6-x^7-x^9+\cdots[/mathjax],

tzn. součet uvedené řady by měl být hledanou vytvořující funkcí.
Posoudit  konvergenci řady (v případě její absolutní konvergence je možno též účelně využít možnosti vhodného přerovnání řady) a řadu sečíst.

Podle mě vychází


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#4 22. 05. 2022 17:53

laszky
Příspěvky: 2249
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   193 
 

Re: vytvořující funkce

↑ pavelOLO:

Ahoj, takze se jedna o periodickou posloupnost, kde

[mathjax] {\displaystyle a_n \; = \; \frac{2}{3}\left(\cos\left(\frac{n\pi}{3}\right)-\cos(n\pi)\right)} [/mathjax] ?

Online

 

#5 22. 05. 2022 18:10

check_drummer
Příspěvky: 3557
Reputace:   91 
 

Re: vytvořující funkce

↑ Pomeranc:
Ahoj, proč to nesplňuje definici vytvořující funkce? Stačí ty dvě řady sečíst nebo ne?


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#6 22. 05. 2022 18:15

Pomeranc
Příspěvky: 598
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Re: vytvořující funkce

↑ laszky:

Ahoj,

a šlo by to řešit i jinak než nechť si vytáhneme nějakou posloupnost z klobouku?
Kdyby mi šlo o výsledek, asi bych byla spokojená, nicméně kdybych někdy jindy řešila
podobný příklad, asi bych byla ztracená.

Offline

 

#7 22. 05. 2022 18:19

check_drummer
Příspěvky: 3557
Reputace:   91 
 

Re: vytvořující funkce

A nebo jako součet dvou jednodušších řad se stejnou periodou (a jedna řada je posunutím druhé):
(1,0,0,-1,0,0,1,0,0,..)
+ (0,-1,0,0,1,0,0,-1,0,0,..)


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#8 22. 05. 2022 18:20

check_drummer
Příspěvky: 3557
Reputace:   91 
 

Re: vytvořující funkce

↑ Pomeranc:
Asi půjde vvymyslet nějaká metoda jak přetavit periodickou posloupnost s 0,1,-1 a nějaké součty goniometrických funkcí...


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#9 22. 05. 2022 18:32

Pomeranc
Příspěvky: 598
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Re: vytvořující funkce

↑ check_drummer:

Ahoj,

díky :) . Když jsem obě sumy sečetla, tak vyšel stejný součet jako ↑ Jj:.
Jenom jsem si říkala, že vytvořující funkce by se měla dát zapsat jako jedna mocninná řada,
ale jako jednu mocninnou řadu se mi to zaspat nepodařilo.

Offline

 

#10 22. 05. 2022 18:37

Pomeranc
Příspěvky: 598
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Re: vytvořující funkce

check_drummer napsal(a):

↑ Pomeranc:
Asi půjde vvymyslet nějaká metoda jak přetavit periodickou posloupnost s 0,1,-1 a nějaké součty goniometrických funkcí...

Spíš si říkám, jestli není nějaký univerzální způsob, jak se vypořádat s těmi periodickými nulami.
Protože tu posloupnost jak napsal ↑ laszky: bych asi z fleku nevymyslela.

Offline

 

#11 22. 05. 2022 19:13

check_drummer
Příspěvky: 3557
Reputace:   91 
 

Re: vytvořující funkce

↑ Pomeranc:
První a zásadní krok je tu posloupnost rozdělit na součet periodických "harmonických" posloupností tvaru 1, x nul, -1. x nul, 1, ...
H.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#12 22. 05. 2022 19:17

check_drummer
Příspěvky: 3557
Reputace:   91 
 

Re: vytvořující funkce

↑ Pomeranc:
To už je ale formalita, když tam máš součet dvou řad. Můžeš to zapsat třeba pomocí podmínek - jestiže je n=0 (mod 6), n=1 (mod 6) atd. a pro všechny případy udat hodnotu. Záleží jestli to chceš mít jako jeden pěkný výraz a taky jaké funkce je povoleno použít.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#13 22. 05. 2022 21:44

Pomeranc
Příspěvky: 598
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Re: vytvořující funkce

↑ check_drummer:

Když se to rozepíše na součet více řad, tak to tak hrozné není. Zajímavé by bylo vědět, jestli
autor úlohy to počítal také přes více řad nebo si poradil jinak :) .

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson