Matematické Fórum

↑ stehno29:

Ahoj,

jedna z možností:

všechny trojčleny uspořádej podle jejich koeficientů, třeba takto:

1. Ze dvou trojčlenů je větší ten, který má větší součet absolutních hodnot koeficientů.
2. Nelze-li rozhodnout podle 1. , je větší ten trojčlen, která má větší první koeficient
3. Nelze-li rozhodnout podle 2. , je větší ten trojčlen, která má větší druhý koeficient
4. Nelze-li rozhodnout podle 3. , je větší ten trojčlen, která má větší třetí koeficient

Tím na množině všech trojčlenů zavedeš dobré uspořádání.

Ozvi se, jestli nebudeš vědět, jak dál.

↑ Eratosthenes:
A) Existují dobře uspořádané množiny, které mají větší mohutnost než N.
B) Podle mě stačí uvažovat jen body 2.-4., tj. bod 1. škrtnout.

↑ check_drummer:

>>> A) Existují dobře uspořádané množiny, které mají větší mohutnost než N.

To ano, ale Z^3 to rozhodně není.

>>> B) Podle mě stačí uvažovat jen body 2.-4., tj. bod 1. škrtnout.

Podle mě ne. Bez té jedničky mě nenapadá to uspořádání...

↑ stehno29:
Mám slabost pro prvočísla, tak bych se snažil udělat dobré uspořádání s jejich pomocí.

V prvním přiblížení bych uvažoval nezáporné [mathjax]a, b, c[/mathjax].

Pro [mathjax]ax^{2}+bx+c[/mathjax] bych trojčleny porovnával (uspořádal) podle [mathjax]2^{a}*3^{b}*5^{c}[/mathjax].

Pro záporná [mathjax]a[/mathjax], resp. [mathjax]b[/mathjax], resp. [mathjax]c[/mathjax] bych to nahradil [mathjax]7^{-a}[/mathjax] resp. [mathjax]11^{-b}[/mathjax], resp. [mathjax]13^{-c}[/mathjax] a je to.

↑ check_drummer:
Ahoj. Jedná se o předmětu Úvod do teorie množin. Úkol jsme dostali zadaný, tak jak jsem ho přidala v prvním příspěvku. Myslím si, že to zobrazení máme přímo najít a sestrojit pro konkrétní trojčlen. Ty úkoly nijak nekorespondují se skripty, co máme. Z toho mám pouze jeden úkol a to dokázat, že množinová rovnost je tranzitivní.

Tento úkol je úplně mimo skripta. Najděte vzájemně jednoznačné zobrazení mezi množinou všech celých čísel a množinou všech kvadratických trojčlenů  s celočíselnými koeficienty.

Děkuji moc všem. Musím se tím nějak prolézt a prokousat, jelikož tomu moc nerozumím a prostě tam to zobrazení mezi množinami nevidím. Vážím si vaší pomoci.

↑ Eratosthenes:
Ošklivilo se mi pomyšlení opustit celočíselný svět, a tak jsem z estetických důvodů přidal 7, 11, 13.
Při zpětném pohledu je ale zase elegantnější předpis bez nich, tak nevím...

↑ osman:
Dobře, děkuji. Chápu tedy dobře, že když budu za a,b,c dosazovat čísla, dostanu množinu celých čísel? Nebo jak? Proč jsou tam vůbec ty exponenty (a,b,c) a ta hvězdička je myšleno jak? Moc se omlouvám za tyto otázky, ale potřebuji ten úkol nějak zpracovat a hlavně nějak pochopit. Je mi jasný, že vypracovat sama to nezvládnu, ale mírné pochopení tam je třeba. Děkuji za vaši ochotu.

↑ stehno29:
Ta hvězdička je normální násobení, psal jsem to místo teček, abych na to viděl.

Jinak - můj myšlenkový postup je zhruba tento:
A. Všechny kvadratické trojčleny nějak uspořádám. K tomu potřebuju vymyslet nějaký systém uspořádání - který z nich je nejmenší, a co to vlastně znamená, že je nějaký trojčlen větší než jiný.
B. Z uspořádání by mělo vyplynout, že jich není víc než přirozených čísel (i když je trojčlenů zjevně nekonečně mnoho).
C. Trojčleny očísluju podle velikosti od nejmenšího - tím získám bijekci na přirozená čísla.
D. Udělám bijekci mezi přirizenýni a celými čísly.
--------
K bodu A jsem navrhl bijekci, která trojčlenu [mathjax]ax^{2}+bx+c[/mathjax] přiřadí přirozené číslo [mathjax]2^{a}*3^{b}*5^{c}[/mathjax] (pro záporné koeficienty je to [mathjax]7^{a},11^{b},13^{c}[/mathjax] ) 

např. trojčlenu [mathjax]3x^{2}+2x+1[/mathjax]  přiřadí číslo [mathjax]360=2^{3}*3^{2}*5^{1}[/mathjax]

a využiju uspořádání přirozených čísel.
--------
K bodu B - zjevně obrazem každého trojčlenu je jiné přirozené číslo, tedy je to vzájemně jednoznačné zobrazení mezi množinou kv. trojčlenů a nějakou nekonečnou podmnožinou přirozených čísel, která má nejmenší prvek a je uspořádaná. Takže si trojčleny můžeme seřadit stejně jako jejich obrazy.
--------
k bodu C zkusím pro názornost seřadit a očíslovat několik prvních členů od nejmenšího:

pořadí     obraz                       trojčlen
1.           [mathjax]1=2^{0}*3^{0}*5^{0}[/mathjax]      [mathjax]0x^{2}+0x+0[/mathjax]
2.           [mathjax]2=2^{1}*3^{0}*5^{0}[/mathjax]      [mathjax]1x^{2}+0x+0[/mathjax]
3.           [mathjax]3=2^{0}*3^{1}*5^{0}[/mathjax]      [mathjax]0x^{2}+x+0[/mathjax]
4.           [mathjax]4=2^{2}*3^{0}*5^{0}[/mathjax]      [mathjax]2x^{2}+0x+0[/mathjax]
5.           [mathjax]5=2^{0}*3^{0}*5^{1}[/mathjax]      [mathjax]0x^{2}+0x+1[/mathjax]
6.           [mathjax]6=2^{1}*3^{1}*5^{0}[/mathjax]      [mathjax]1x^{2}+1x+0[/mathjax]
7.           [mathjax]7=7^{1}*3^{0}*5^{0}[/mathjax]      [mathjax]-x^{2}+0x+0[/mathjax]
.
.
.
14.          [mathjax]15=2^{0}*3^{1}*5^{1}[/mathjax]      [mathjax]0x^{2}+1x+1[/mathjax]      U 14. členu očíslování začíná být menší než obraz ( číslo 14 není obrazem žádného trojčlenu)
.
.


Bohužel toto není explicitní popis. Víme, že toto očíslování existuje, ale zkonstruovat ho je věc druhá.
--------
Bod D je triviální

Pozdravujem
Mala poznamka :
V tomto vlakne ste konstatovali, ze mnozina kvadratickych celociselnych trojclenov je bijektivna z [mathjax]\mathbb{Z}^3
[/mathjax].
A potrebujete ukazat ze tato je bijectivna z mnozinou [mathjax]\mathbb{Z}[/mathjax]


Mozte sa inspirovat napr. tu.   https://math.stackexchange.com/question … mes-s?rq=1

Co sa da realizovat kompoziciou vhodnych bijekcii.

↑ vanok:

Tady

Odkaz

je spousta chyb

↑ Eratosthenes: A obecný předpis pro polynom n-tého stupně by mohl vypadat nějak takhle:-)
[mathjax2]g(\sum_{i=0}^{n}a_{i}*x^{i})=\prod_{i=0}^{n}(p_{i+1}^{f(a_{i})}*p_{n+i+2}^{f(-a_{i})})[/mathjax2]
kde [mathjax]p_{j}[/mathjax] je j-té prvočíslo

Reakcia na #20
Na inspiraciu to staci.