Matematické Fórum

↑↑ check_drummer:

Samozřejmě, že (zcela formálně vzato) i ta Pythagorova věta by měla být "obalena" obecným kvantifikátorem. Všeobecně se ale předpokládá, že matematická věta platí vždycky, jinak by celá matematika ztratila smysl. Takže i když v obecných větách ten kvantifikátor explicitně není, mčky se tam předpokládá, tj. je to jakýsi
"metakvantifikátor " :-)

Jinak - tabulka pravdivostních hodnot není opravdu nic víc, než jakýsi stručný dohodnutý zápis vyplývající z odvozovacích pravidel.

↑ Eratosthenes:
Já bych řekl, že Pythagorova věta je regulérní tvrzení s obecným kvantifikátorem - pro každý trojúhelník platí, že ....
Mnoho vět je ve skutečnosti tvrzením s obecným kvantifikátorem, začínají např. obratem "nechť T je trojúhelník ..." nebo "mějme trojúhelník T ...", apod. Dokonce se v logice dokazuje, že tvrzení s volnou proměnnou je ekvivalentní tvrzení, kdy tuto volnou proměnnou kvantifikujeme obecným kvantifikátorem.

Některá tvrzení nejsou tvrzeními s obecným kvantifikátorem, ale ty s tím obecným jsou nejběžnější.
Jsou i tvrzení s existenčními kvantifikátory a nebo s žádnými, např. popisujícími nějakou vlastnost konkrétního objektu - i když i tuto vlastnost lze někdy formulovat jako obecný nebo existenční výrok.
Např. "3+2=5".

Ještě by mě třeba zajímalo, když nějaká implikace NEPLATÍ, tak to znamená, že v té pravdivostní tabulce bude jako výsledek vždycky nula, nebo tam může být cokoliv ?

Nebo je jiná tabulka když řeknu "tvrzení neplatí" a jiná když řeknu "tvrzení obecně neplatí" ?

↑ MichalAld:

MichalAld napsal(a):

Ještě by mě třeba zajímalo, když nějaká implikace NEPLATÍ, tak to znamená, že v té pravdivostní tabulce bude jako výsledek vždycky nula, nebo tam může být cokoliv ?

p q   p => q

1 1      1    ("implikace platí")
1 0      0    ("implikace neplatí")
0 1      1    ("implikace platí")
0 0      1    ("implikace platí")

MichalAld napsal(a):

Nebo je jiná tabulka když řeknu "tvrzení neplatí" a jiná když řeknu "tvrzení obecně neplatí" ?

Zdá se mi, že si pleteš dohromady celkem tři věci:

1) Individuální výroky
2) Logiku prvního řádu - díky ↑ check_drummer: - opravuji nultého řádu
3) Logiku  druhého řádu - díky ↑ check_drummer: - opravuji prvního řádu

1) Individuální výrok je to nejjednodušší sdělení, o kterém má smysl rozhodovat, zda je to pravda, anebo ne. Prší. Čislo pět je prvočíslo. To nerozhodneš žádnou tabulkou. Je to sémantická záležitost, na které se musíš buď dohodnout (jestli sem tam ta kapka, které spadne, už je déšť), anebo dokázat použitím prostředků, které jsou mimo logiku (na pojmy "číslo" a "prvočíslo" logika sama nestačí).

2) Logika nultého řádu (opraveno ↑ check_drummer: ) : je logika složených výroků, tj. dvou, anebo více individuálních výroků spojených logickými spojkami. Tam už tě nezajímá obsah individuálních výroků. Musíš o nich vědět jenom to, zda jsou pravdivé, anebo nepravdivé. A pak můžeš o pravdivosti složeného výroku rozhodovat tabulkou.

3) Logika prvního řádu (opraveno ↑ check_drummer: ): je logika kvantifikovaných výrokových forem. Výrokový forma je "výrok", který obsahuje proměnnou, a o jehož pravdivosti nelze rozhodnout (číslo n je prvočíslo).  Rozhodnout můžeš až buď

  a) dosadíš za proměnnou (číslo pět je prvočíslo)

anebo

  b) výrokovou formu kvantifikujeě

       Existuje číslo, které je prvočíslo  - existenční výrok
       Každé číslo je prvočíslo - obecný výrok.

Výroková forma platí obecně v případě, kdy je pravdivý příslušný obecný výrok. ¨

       Dvojciferné prvočíslo je liché. Je výroková forma (nevíš konkrétně, o jakém prvočísle je řeč), ale platí obecně, protože každé dvojciferné prvočíslo je liché.

       Prvočíslo je liché.  Je to výroková forma, která obecně neplatí, protože výrok "každé prvočíslo je liché" je nepravdivý.

MichalAld napsal(a):

Nebo je jiná tabulka když řeknu "tvrzení neplatí" a jiná když řeknu "tvrzení obecně neplatí" ?

Když máš nějaké tvrzení, o kterém říkáš, že "obecně" platí, tak je to většinou tak, že toto tvrzení je kvantifikováno obecným kvantifikátorem. Tedy P(x) obecně platí - pokud platí [mathjax](\forall x)P(x)[/mathjax], tj. P musí platit pro všechna x.

Jak jsem psal už dřív - implikace se v drtivě většině případů nepoužívá jako výrok P=>Q, ale jako výrok [mathjax](\forall x)(P(x) \Rightarrow Q(x))[/mathjax], kde x je nějaká proměnná. (Samozřejmě P,Q mohou záviset na více proměnných než na jedné - ale ber to třeba tak, že potom je x nějaký vektor se složkami.)
Pak tvrzení, že tato implikace obecně neplatí, znamená, že existuje nějaké x0, kdy ta implace neplatí, tj. kdy implikace [mathjax]P(x_0) \Rightarrow Q(x_0)[/mathjax] neplatí, tj. kdy platí P(x0) a neplatí Q(x0).

Nebo ještě jinak - impliakce [mathjax]P(x) \Rightarrow Q(x)[/mathjax] nemusí obecně platit, protože neplatí pro všechna x, ale pro nějaké x1 může platit implikace [mathjax]P(x1) \Rightarrow Q(x1)[/mathjax].

Možná nakonec ještě něco pochopím. Logiku "vyšších řádů" zatím ponechávám stranou. Kvantifikátory, to je mi, řekněme, celkem jasné. Nějak si vlastně nedokážu představit, že by to mělo být jinak.


Ale ta tabulka:

p q   p => q

1 1      1    ("implikace platí")
1 0      0    ("implikace neplatí")
0 1      1    ("implikace platí")
0 0      1    ("implikace platí")


Já si to vždycky představoval trochu jinak. Že známe ten výrok p, a že platí ta implikace. Takže když trochu přehážu ty sloupce, tak:

p   p=>q   (když implikace platí)

1     1      1   
0     1      X - tedy cokoliv, 0 nebo 1


p   p=>q   (když implikace neplatí)

1     0      X   
0     0      X

Což ovšem tak úplně neodpovídá té první tabulce.


Další věc - že logické operace jako je AND, OR, XOR, negace atd ... se dají "vrstvit" na sebe. Můžu klidně napsat: výrok_1 a (výrok_2 nebo (výrok_3 a ne výrok_4))

Ale nějak si nedokážu představit, že by se tohle mělo udělat s implikací, něco ve stylu

jestliže ( jestliže je x dělitelné 4, pak je dělitelné 2) pak ...

MichalAld napsal(a):

Ale nějak si nedokážu představit, že by se tohle mělo udělat s implikací, něco ve stylu

jestliže ( jestliže je x dělitelné 4, pak je dělitelné 2) pak ...

Proč by ne, implikace je výrok, v předpokladu nebo závěru implikace je výrok, takže výrok je i:
(p=>q)=>r
a také i
p=>(q=>r)

Ten příkald co uvádíš ty je první případ co uvádím já. Ale abych řekl pravdu, nejsem si jist, zda má nějaká praktická matematická věta tento tvar. To spíš ten druhý, protože ten druhý tvar je podle mě ekvivaletní s:
(p a q)=>r
což je samozřejmě tvar tvrzení, který se vyskytuje často.

MichalAld napsal(a):

↑ check_drummer:
Třetí sloupec je ten výrok q.

V tom případě přece stačí jenom přehodit sloupce zde ↑ Eratosthenes:

Tedy:


p   p => q    q 

1      1         1       
1      0         0     
0      1         1     
0      1         0

MichalAld napsal(a):

↑ Eratosthenes:

Když je x dělitelné 5, tak je dělitelné 3. To všichni víme, že neplatí. Ale to přece neznamená, že když je x dělitelné 5, tak není dělitelné 3.

Dopln kvantifikator.

MichalAld napsal(a):

↑ check_drummer:
Třetí sloupec je ten výrok q.

Nemůžeš rozhodnout o platnosti složeného výroku, když neznáš platnosti jednotlivých podvýroků. Jistě, někdy to lze, ale obecně ne.
Samozřejmě můžeš dělat to co děláš, že řekneš že ta impliakce platí nebo neplatí a ptáš se, zda z toho lze odvodit pravdivost výroku q. Ale nevím co je cílem tohoto cvičení.

check_drummer napsal(a):

MichalAld napsal(a):

↑ check_drummer:
Třetí sloupec je ten výrok q.

Nemůžeš rozhodnout o platnosti složeného výroku, když neznáš platnosti jednotlivých podvýroků.

Já si to představit dovedu - jako (poněkud zvláštní) situaci, kdy o platnosti implikace nerozhoduješ, ale dostaneš ji zadanou.

Příklad: Výrok p je pravdivý, výrok p => q  nepravdivý. Co lze říct o pravdivosti výroku q?

↑ check_drummer:

Z kontextu jsem nic nevytrhl. Můj příklad je zcela korektní a řešit lze vždycky.

↑ check_drummer:

korektní nerovná sa konkrétní