Matematické Fórum

↑ Pepex_:

Ahoj, pokud lze ze vzorce pro n-ty clen vyjadrit n: [mathjax]\quad  a_n=f(n)\;\;\; \Rightarrow \;\;\; n=f^{-1}(a_n), [/mathjax]
potom je take [mathjax] f^{-1}(a_{n+1}) = n+1 = 1+f^{-1}(a_n) , [/mathjax] a tedy [mathjax] a_{n+1} = f(1+f^{-1}(a_n)). [/mathjax]

↑ Pepex_:
Co takhle zkusit  a(n+1)-a(n)= (nějaký výraz s n)
a(n+1)=a(n)+(nějaký výraz s n)

↑ surovec:
Ahoj. Co znamená hybrid mezi rekurentním vzorcem a vzocem pro n-tý člen?

Obecně bych rekurentní zápis definoval tak, že je to tvar
[mathjax]a_{n+1}=F(n,a_{n},a_{n-1},..)[/mathjax], kde funkce F není ve druhé, třetí, čtvrté,... proměnné konstantní.
(Plus definovat první členy.)
Pak by se dal definovat ještě "ryze rekurentní" zápis, kdy funkce F je konstantní v první proměnné, tj. nezávisí explicitně na n. Tyto případy jsou asi nezajímavější a nejtěžší nalézt.

Takže můj první výraz výše nevyhovuje, druhý už vyhovuje.

A ještě by se dal definovat implicitní rekurentní vztah, kde [mathjax]a_n[/mathjax] není vyjádřeno explicitně. Našel jsem jeden takový implicitní ryze rekurentní vztah :-) (bez proměnné n):

[mathjax]\frac{1}{\frac{a_{n-2}}{a_n}-1}-\frac{1}{\frac{a_{n-3}}{a_{n-1}}-1}=\frac{1}{4}[/mathjax]

[mathjax]a_n[/mathjax] z něj půjde snadno vyjádřit, ale to už se mi nechce dělat. :-)


Zajímavé je, že jsem tam udělal chybu a měl jsem tam (což ale nejspíš taky platí):

[mathjax]\frac{1}{\frac{a_{n}}{a_{n-2}}-1}-\frac{1}{\frac{a_{n-1}}{a_{n-3}}-1}=-\frac{1}{4}[/mathjax]

Podívám se jestli to je jen snadný důsledek nebo nový vztah - a pak by pomocí těch dvou možná bylo možné to celé zjednodušit.
... Tak nic, je to jen snadný důsledek. Ale možná z toho půjde lépe vyjádřit [mathjax]a_n[/mathjax]. :-)

↑ check_drummer:

Zdravím, odvozoval jsem to asi takto:

[mathjax]b_{n}=n.(n+2)=n^{2}+2n[/mathjax]
[mathjax]b_{n+1}=(n+1).(n+3)=n^{2}+2n+2n+3=b_{n}+2n+3[/mathjax]

[mathjax]a_{n}=(b_{n})^{-1}[/mathjax], také [mathjax]b_{n}=(a_{n})^{-1}[/mathjax] a tedy

[mathjax]a_{n+1}=((a_{n})^{-1}+2n+3)^{-1}[/mathjax]

Přehlédl jsem něco?

↑ check_drummer:
Tak jasný, z toho jde [mathjax]a_n[/mathjax] vyjádřit snadno, a je to správně.

A nebo jak už tu asi zaznělo - vyjádřit n pomocí an a pak to dosadit do vztahu pro a(n+1).

A dostaneme po úpravě:

[mathjax]a_{n+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{a_n}+2.\sqrt{1+\frac{1}{a_n}}}[/mathjax]

Což je koukám vztah, který má surovec rozšířený an.

↑ osman:
Někdy může být rekurentní vyjádření výrazně jednodušší než explicitní, proto může být dobré ho hledat. A taky nám může rekurentní vyjádření pomoct při důkazu indukcí.

↑ Pepex_:
Viz můj příspěvek - vyjádři n pomocí an ze vzorce pro an a dosaď toto n do vzorce pro a(n+1).

A nebo ještě jedna zajímavost:
[mathjax]a_{2k} \cdot a_{2k+4} = \frac{1}{16}\cdot a_{k} \cdot a_{k+1}[/mathjax]