Matematické Fórum

↑ check_drummer:
No o to právě jde, dokázat, že exp(a·i) = cos(a) + i·sin(a). Myslel jsem nějaký třeba geometrický důkaz, mám pocit, že jsem něco takového kdysi kdesi viděl...

Podle mě jediné co můžeš je hledat nutný tvar toho symbolu, aby pro něj platilo totéž co pro exponenciální funkci - a pak dospěješ k tomu, že nutný tvar je ten, který uvádíš. Podle mě to bude plynout z Moivrovy věty.

↑ kastanek:
To doufám nemyslíš vážně. To je jako kdybych řekl, že bagr, tráva a oparace "+" jsou jasně definované věci a tedy je jasně definováno i bagr+tráva. Abys něco definoval nestačí poskládat za sebe známé objekty.

Jak je tedy podle tebe exp(a·i) definováno? Je to komplexní číslo? Pokud ano, jaká je jeho reálná a imaginární složka? Pokud to není tvá definice schopna vyjádřit, tak se nejedná o definici...

↑ kastanek:
Každý kdo by takový důkaz chtěl podat bude mít stejnu otázku jako já.

↑ kastanek:
Jak můžeš dokázat, že se nějaký výraz rovná výrazu, který označuješ jako "exp(a·i)", když nedefinuješ co to "exp(a·i)" je? To prostě není možné.

Nemusíš "exp(a·i)" definovat explicitně nějakým výrazem. Můžeš ho klidně definovat implicitně nějakou podmínkou - ale musíš pak ukázat, že tak je ten výraz již jednoznačně určen. Třeba si umím představit že by se dal ten výraz definovat tak, že je to komplexní číslo, které má jednotkovou délku a když ho chápeme jako funkci proměnná a, že se chová jako exponenciela, tj. splňuje vztahy, které splňuje exponenciální funkce. Možná tam bude potřeba ještě něco pro dosažení jednoznačnosti.

Jinak rovnost je symetrická relace, takže je úplně jedno jestli dokážeš, že se cos(a) + i· sin(a) rovná exp(a·i) - anebo zda dokážeš že se exp(a·i) rovná cos(a) + i· sin(a).

A jestli teda chceš pomocí toho vztahu definovat komplexní mocninu, tak prostě definuj, že exp(a·i) definujeme jako cos(a) + i· sin(a) (to jsem psal už výše). A pak můžeš dokázat, že se chová tak jak bychom od mocniny očekávali (Moivrova věta, součtové vzorce pro sin,cos).

Já myslím, že se středoškolskou matematikou (tj. s algebrou) se nejde dostat ani k tomu číslu e. Stejně tak je problém i s funkcemi sin(x) a cos(x). Protože na střední škole (no, možná už na základní) se učíme, že argumentem sinu a cosinu je "úhel", a úhel můžeme měřit v mnoha různých jednotkách. A není žádný zvláštní důvod se domnívat, že některá z jednotek úhlu je něčím speciální, nějak přirozená.

Teprve když dokážeme převádět funkce na mocninné řady, objeví se spousta hlubších souvislostí. A pak také můžeme rozšiřovat definiční obory těch funkcí ... pak už argumentem nemusí být jen reálné číslo, ale cokoliv, co dokážeme celočíselně umocnit. Což mohou být ta komplexní čísla, nebo třeba taky matice.

Ale bez toho máme poněkud svázané ruce. I když víme, jak se v principu určí hodnota [mathjax]e^x[/mathjax], nebo třeba aspoň [mathjax]10^x[/mathjax], kde x je reálné číslo, nijak z toho neplyne, jaká je hodnota když je x číslo imaginární, nebo komplexní. To musíme prostě rozšířit naši definici (na což se kolega check_drummer snažil opakovaně poukázat). Musíme prostě vymyslet takovou definici, aby nám pro reálná čísla dala stejný výsledek jako naše původní definice, a pro komplexní čísla ... no, to je otázka, co máme vlastně chtít. To nikdo dopředu neví. Ale když budeme chtít, aby rozvoj funkce do mocninné řady vedl ke stejné řadě v reálném i v komplexním oboru, tak máme problém tak nějak vyřešený.

↑ MichalAld:
Škoda že jsi nenapsal [mathjax]e^{i.X}[/mathjax], to by určitě bylo rovné cos(X)+i.sin(X). :-) Ale jen tak pro zajímavost - jak by bylo nutné definovat cos(X) a sin(X), aby ta rovnost platila? Ale možná by to ani rozumně nešlo...

↑ check_drummer:
Ale jo, s tím není žádný problém, pokud umíme mocnit matice, což umíme, protože je umíme násobit, tak můžeme matice používat jako argument pro každou "rozumnou" funkci.

[mathjax]f(X) = a_0 X^0 + a_1X^1 + a_2X^2 + ...[/mathjax]


No, ale dá se ještě udělat takový hezký trik (teda, myslel jsem, že to znáš, já přeci jen žádný matematik nejsem), že matici X můžeme napsat pomocí matice vlastních čísel.

[mathjax]X = P \cdot \Lambda \cdot P^{-1}[/mathjax]

a potom

[mathjax]X^2 = (P \cdot \Lambda \cdot P^{-1})\cdot(P \cdot \Lambda \cdot P^{-1})=P \cdot \Lambda^2 \cdot P^{-1}[/mathjax]

No a matice co má na diagonále vlastní čísla a jinde nuly už se umocňuje snadno, protože se prostě umocní ta jednotlivá čísla na diagonále. Takže výsledek je nakonec docela jednoduchý,

[mathjax]e^X = P \cdot diag(e^{\lambda_1}, e^{\lambda_2}, ...e^{\lambda_n}) \cdot P^{-1} [/mathjax]

PS: je možné, že jsem tam něco trochu pomotal, a samozřejmě to funguje jen s regulárními čtvercovými maticemi. Ale hezky se to dá použít k řešení soustav lin. dif. rovnic

[mathjax]\frac{dX}{dt} = A \cdot X[/mathjax]

[mathjax]X = e^{-A \cdot t}[/mathjax]

↑ MichalAld:
To ale definuješ exponenciální funkci matici, to je ok, to je celkem známá věc. Mně šlo o to definovat cos(X) a sin(X), kde X je matice. Ale možná by to šlo udělat prostě tak, že vezmeme reálnou a imaginární složku matice e^{iX}. Otázka je, zda by taková definice měla nějaké použití.

Jinak teda podle mě exponenciela matice lze definovat úplně pro každou matici, pomocí řady ne? Nevím ale jak je to s konvergencí, ale možná půjde dokázat že konverguje vždy, podobně jako řada pro normální exponencielu.

↑ MichalAld:
No a paltí i pro matice Eulerův vzorec? Asi ano, když ty řady jsou formálně stejné jako pro reálnou proměnnou ne?

↑ MichalAld:
Akorát je potřeba vyšetřit konvergenci.