Matematické Fórum

↑↑ Eratosthenes:
Jinak axiom výběru mluví o něčem jiném, ne že z každé množiny lze vybrat jeden prvek, ale že pro každou množinu neprázdných množin existuje funkce, která každé množině přiiřadí některý její prvek.
Pro některé množiny takové zobrazení lze sestrojit i bez axiomu výběru a pro některé nikoli.

↑↑ Eratosthenes:
Jak jsem říkal asi i dřív, v tomto je ten zakopaný pes:

[mathjax]\huge \lim_{n\to\infty_0}2^n-1 = \infty_1 [/mathjax]

Ano, získáš nespočetně bodů to ano, jde o "limitní" případy těch intervalů, ovšem intervalů (konečné délky), ze kterých limitu děláš, není nespočetně mnoho. Musíš si nejdřív stanovit co hledáš - mohutnost výsledných ("limitních") intervalů (nulové délky) a nebo mohutnost množiny těch intervalů konečné délky, které stále půlíš?

Podle mě z žádné limity nelze získat něco jako “nespočetné nekonečno”. Ani “spočetné nekonečno”. Tyhle věci souvisejí s množinami, u limity je to jen takový symbol, v definici limity žádná nekonečna nejsou. To bychom za chvíli mohli říct že když je to limita funkce, tak je to nespočetné nekonečno a když limita posloupnosti, tak spočetné. Nebo tak něco.

↑ MichalAld:
To není správný názor, protože limitu si můžeš definovat jak chceš, můžeš mít třeba limitu množin, apod. Můžeš si definovat třeba pojem "mojelimita", která pro jakoukoliv posloupnost vrátí hodnotu kardinálu alef1. Taková limita asi k ničemu nebude, ale bude to "nějaká limita".

check_drummer napsal(a):

↑↑ Eratosthenes:
Jak jsem říkal asi i dřív, v tomto je ten zakopaný pes:

[mathjax]\huge \lim_{n\to\infty_0}2^n-1 = \infty_1 [/mathjax]

Souhlasím. Uhodil jsi hřebík na hlavičku

check_drummer napsal(a):

↑↑ Eratosthenes:
Ano, získáš nespočetně bodů to ano, jde o "limitní" případy těch intervalů, ovšem intervalů (konečné délky), ze kterých limitu děláš, není nespočetně mnoho. Nebo jinými slovy - pokud zkoumáme nějaké prvky, a(n) tak do nich nelze jen tak samozřejmě zahrnout i nějakou jejich "limitu", ta už vůbec nemusí mezi ty prvky a(n) patřit.

A to něčemu vadí?
Ano, ta limita vytvoří "jediným skokem" ze spočetné množiny množinu nespočetnou. Pokud to považuješ za problém, můžu sem takových "problémů" nasázet spoustu.

[mathjax]\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n {(-1)^{k+1} \over {2k-1}} ={{\pi} \over 4 }[/mathjax]
Zkoumám racionální čísla a limita do nich vůbec nepatří...

[mathjax]\lim_{n\to\infty}{2\over {\pi}}\arctan nx =sgn x[/mathjax]
Zkoumám spojité funkce a limita mně je najednou roztrhne jak hada... 

[mathjax]\lim_{n\to\infty} \sqrt{n \over {\pi}}e^{-nx^2} =\delta (x)[/mathjax]
Zkoumám spojité funkce a limita mně z nich udělá obludu, která není ani funkce...
A tak se znovu ptám: Čemu to vadí?

check_drummer napsal(a):

↑↑ Eratosthenes:
Jak jsem říkal asi i dřív, v tomto je ten zakopaný pes:

[mathjax]\huge \lim_{n\to\infty_0}2^n-1 = \infty_1 [/mathjax]

Ano, získáš nespočetně bodů to ano, jde o "limitní" případy těch intervalů, ovšem intervalů (konečné délky), ze kterých limitu děláš, není nespočetně mnoho. Musíš si nejdřív stanovit co hledáš - mohutnost výsledných ("limitních") intervalů (nulové délky) a nebo mohutnost množiny těch intervalů konečné délky, které stále půlíš?

Možná se budeš divit, ale je to úplně jedno. Vrátím se k tomu později. Moje okolí mně neustále zahrnuje nějakými úkoly, které zcela nesprávně považuje za důležitější :-)

↑ check_drummer:

Asi jsme oba přišli na něco nezávisle na sobě. Předběhls mě se zápisem o pár minut. Jádro pudla je úplně někde jinde, než jsme si oba mysleli. A má zajímavý důsledek. Pokud mi to správně docvaklo, je situace následující:

Ty tvrdíš, že ten součet neexistuje. A máš pravdu.
Já tvrdím, že ten součet existuje. A podrž se - mám taky pravdu :-)

Nedělám si srandu, ani se nesnažím popřít logické pravidlo třetí  možnosti.
Všechny postupy, o které jsme se snažili, jsou v pořádku. Je úplně jendo, jesti sečítáš uzly grafu, jeho cesty, anebo jenom jejich konce. Je úplně jedno, jestli půlíš intervaly a počítáš dělicí body, anebo ty intervaly. Zkoušel jsem to počítat všemi těmito způsoby, vycházela mi vždycky stejná konvergentní suma. Všechny postupy jsou v jistém smyslu stejně dobře i stejně špatně. Jak se to vezme.   

Bohužel zase musím někam letět, takže podrobněji za nějaké dvě hoďky...

↑ MichalAld:

Pozor -  to platí v ordinální aritmetice, [mathjax]2^\omega[/mathjax] je spočetné.  Tady se od začátku mluví o číslech kardinálních. A to je dost podstatný rozdíl. Tady platí [mathjax]2^{\aleph_0}=\aleph_1[/mathjax].[mathjax]\aleph_0[/mathjax] je spočetné, [mathjax]\aleph_1[/mathjax] je nespočetné.

↑ MichalAld:

Asi se to dá najít na wiki. Podle mě něco jako limita z analýzy v kardinálních číslech neexistuje, není tam topolegie, ale možní se pletu. Ale "jiné" limity tam existují, máš tam pojmy jako třeba "limitní ordinál", apod. le jak je to definováno už nevím, asi přes nějaké sjednocení.

X^Y bude pro kardinály asi definováno jako mohutnost množiny všech zobrazení z X do Y. Ale zas je asi lepší se podívat třeba na wiki. Těch definici asi může být víc.

MichalAld napsal(a):

A jaká je definice 2^n pro kardinální čísla?

check_drummer napsal(a):

↑ MichalAld:

X^Y bude pro kardinály asi definováno jako mohutnost množiny všech zobrazení z X do Y. Ale zas je asi lepší se podívat třeba na wiki. Těch definici asi může být víc.

check_drummer to říká dobře.  Jsou-li [mathjax]\alpha;\beta[/mathjax]  kardinálná čísla, pak [mathjax]\alpha^\beta  [/mathjax] je mohotnost množiny všech zobrazení [mathjax]\beta \rightarrow \alpha[/mathjax]. Takže speciálně třeba [mathjax]\aleph_0[/mathjax] je nejmenší nekonečné kardinální číslo, je to mohutnost spočetné množiny. Třeba libovolné reálné číslo lze zapsat jako spočetná posloupnost nul a jedniček. To lze chápat jako jedno zobrazení spočetné množiny do množiny dvouprvkové - {0;1}. Chceš-li zjistit, kolik je reálných čísel, chceš vlastně zjistit, kolik je zobrazení  [mathjax]\aleph_0\rightarrow 2[/mathjax], a to je podle definice mocniny [mathjax]2^{\aleph_0}[/mathjax]. To je mohutnost množiny [mathjax]\mathbb{R}[/mathjax] , nejmenší kardinální číslo větší než  [mathjax]\aleph_0[/mathjax], tedy [mathjax]2^{\aleph_0}=\aleph_1[/mathjax], Je to mohutnost nespočetné množiny.

Symbol [mathjax]\infty[/mathjax] je "číslo", které je větší než libovolné jiné. Takže zatímco přirozená čísla se zvětšují o jedničku a každé kromě prvního má předchůdce, "číslo" [mathjax]\infty[/mathjax] předchůdce nemá. Číslo o jedničku menší než [mathjax]\infty[/mathjax] nenajdeš. To má za následek, že mezi sebevětším přirozeným n a  [mathjax]\infty[/mathjax] je "nekonečně velká díra". Stejně veká, jako mezi jedničkou a tím nekonečnem. Takže zažité čtení symbolů  [mathjax]n\to\infty[/mathjax] jako "n se blíži nekonečnu" je nesmysl. Sebevětší n se nikam neblíží. Je pořád stejně daleko. Formulace "n jde k nekonečnu", je možná lepší, ale ta "chůze" mu moc nepomáhá. K cíli možná jde, vzdálenost však nijak nezmenšuje.

Reálná čísla jsou kompletně vybudována z čísel přirozených (čísla celá a racionální jsou jen krátkými zastávkami na této cestě). Každé přirozené číslo je konečným kardinálním číslem. Proto je možné "běžnou" číselnou osu chápat jako osu konečných kardinálních čísel 1;2;3;....; mezi která jsou zamíchány (konečné) "kardinální zlomky" a "kardinální reálná čísla". Spočetné kardinální číslo  [mathjax]\aleph_0[/mathjax] funguje ("nekonečně daleko vpravo") úplně stejně jako [mathjax]\infty[/mathjax]. Taky nemá předchůdce (konečná množina, která by měla o jeden prvek míň než spočetná, neexistuje), mezi konečnými a [mathjax]\aleph_0[/mathjax] "nekonečná díra" atd.

Takže limita mezi kardinálními čísly existuje. Jen ne mezi všemi. Zápis [mathjax]\lim_{n\to\aleph_0} n^2=\aleph_0[/mathjax] je tedy možná značně nezvyklý, ale znamená úplně totéž, jako [mathjax]\lim_{n\to\infty} n^2=\infty[/mathjax]. Každé kardinální číslo, které má před sebou takovou díru, se navíc nazývá limitní. Takže v tom nevidím absolutně žádný problém. Navíc n  i [mathjax]\aleph_0[/mathjax] jsou kardinální čísla, takže jsou prvky téže "pracovní množiny" a já nemusím pracně vymýšlet, jak [mathjax]\aleph_0[/mathjax] někam přidám.

Zcela formálně bych takto mohl použít i větší kardinální čísla, třeba  [mathjax]\lim_{n\to\aleph_5} n^2=\aleph_5[/mathjax] a možná bych to i obhájil (mezi přirozenými čísly a [mathjax]\aleph_5[/mathjax] je taky "nekonečná díra"), ale smysl to nedává. Proč použít tak zbytečně velké, když mám k dispozici nejmenší.

Se zápisem [mathjax]\lim_{n\rightarrow\aleph_0}2^n=\aleph_1[/mathjax] by ještě taky neměl být problém. Pracuji v množině kardinálních čísel, všechna čísla mám v této množině a rovnost  [mathjax]2^{\aleph_0}=\aleph_1[/mathjax] je v pořádku, takže můžu jednoduše dosadit. Analogie v "běžných" číslech je sice možná trochu divná, např. [mathjax]\lim_{n\rightarrow 1000} 2^n =2^{1000}[/mathjax],  ale já bych proti tomu nic neměl.

Problém s existencí či neexistencí řešeného součtu je někde jinde. Je to jednoduché jak facka a já se biju do hlavy, že jsem na to nepřišel hned.

(v dalším příspěvku později)

↑ MichalAld:
Spíš se nejdřív musí definovat co to znamená. jestli je to to, že postupně dělíme interval "do nekonečna" a chceme zjistit kolik "nekonečně malých" intervalů tak získáme, tak je ten vzorec správně.

Tím zakopaným psem  je axiom výběru.

check_drummer napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Ty jsi psal, že říká, že z každé množiny lze vybrat jeden prvek. To neříká. Říká to co jsem psal já, tedy to, že máš množinu množin a z každé z nich lze vybrat jeden prvek - "najednou" tím selektorem. To, že v neprázdné množině existuje prvek, na to není potřeba další axiom.

Ano. To , co píšeš, jsem si přesně myslel. A právě kvůli tomu jsem pěkných pár dní řešil kvadraturu kruhu.

Mám pytel reálných čísel. Kdybych do něj chtěl jen sáhnout, vytáhnout číslo a jít pryč, pak samozřejmě axiom výběru nepotřebuju. Když budu tah opakovat, tak je to totéž - zase tahám z neprázdné množiny jeden prvek, axiom pořád nepotřebuju. Atd., až v pytli zůstane jediný prvek. To už vypadá absolutně primitivně, tam už ani na výběr nemám.  Vytáhnu, co tam zbylo a hotovo. Tak k čemu axiom výběru? Přesně toto mě uchlácholilo, axiom výběru jsem pustil z hlavy a od toho okamžiku byla jakákoliv snaha marná a já jsem si to ani neuvědomoval. A dlouho mi to nedocházelo, i když to měl celou dobu přímo před očima a dokonce jsem to v některém předchozím příspěvku napsal.

Opakovaný výběr:

Sáhnu do pytle, vytáhnu prvek (naprosto libovolný), označím a(1;1) něco s ním provedu (přičtu k nule)  a zahodím
Sáhnu do pytle podruhé, úplně stejně jako poprvé, vytáhnu prvek (naprosto libovolný), označím a(2;1) něco s ním provedu (přičtu k dosavadnímu součtu) a zahodím.
.......
Sáhnu do pytle bůhví pokolikáté, úplně stejně jako předtím, vytáhnu prvek, přičtu, zahodím.
.......

Jeden krok jako druhý. V čem je problém? Co to vlastně vůbec dělám?

Je to přece úplně jasné -

u s p o ř á d á v á m   p r v k y   z t o ho  p y t l e. A dokonce dobře...

Poprvé tahám prvek. P  o p r v é. To je ten zakopaný pes. Vím, že prvek a(1;1) je první
Podruhé tahám prvek. P o d r u h é...
                                 P o t ř e t í....

a(1;1)<a(2,1)<a(2,2)<....

Dokud nepřekročím spočetnost, je to OK. Tímto způsobem však spočetnost překročit nemůžu. Pookud bych mohl, okamžitě průšvih.

Kde je v tom axiom výběru a selektor ?

Mám množinu [mathjax]\mathbb{R}[/mathjax], vytáhnu prvek  ---> a
Pak mám už jen množinu [mathjax]\mathbb{R}-\{a\}[/mathjax], vytáhnu prvek ---> b
Pak    [mathjax]\mathbb{R}-\{a;b\}[/mathjax], vytáhnu prvek ---> c

atd.

Takže 

[mathjax]\huge \{\mathbb{R};\mathbb{R}-\{a\};\mathbb{R}-\{a;b\}; \mathbb{R}-\{a;b;c\}...\} \rightarrow \{a;b;c;d;...\}[/mathjax]

A je úplně jedno, jestli to tahám postupně, anebo to vytáhnu najednou.

A i když jsem si to při tom "tahání" neuvědomoval, celou dobu jsem to měl před očima

[mathjax]\huge\sum_{n=1}^{...}[/mathjax]

Sečítám od inexu jedna do indexu bůhví kolik - ale to znamená, že ty indexy musím mít dobře uspořádané.

Dokud je ta řada spočetná, není to problém. Proto to sčítání tak hezky funguje. Ale když je řada nespočetná?...

Důsledkem axiomu výběru je fakt, že každou množinu lze dobře uspořádat. Tedy i množinu [mathjax]\mathbb{R}[/mathjax] a všechny další nespočetné množiny.  Bohuže už ale neříká nic o tom, jak se to má udělat. Postupné tahání čísel z pytle bohužel nefunguje a ani na to, jak to udělat jinak nikdo další zatím nepřišel.


Množinu [mathjax]\mathbb{R}[/mathjax] zatím nikdo neuspořádal, součet tedy nelze najít. Takže máš pravdu.
Já říkám: Ano, součet nelze najít, ale problém není v tom, že by neexistoval. Problém je v uspořádání, které zatím nikdo nenašel, ale axiom výběru říká, že existuje. Takže až se to uspořádání někomu podaří (já to opravdu zkoušet nebudu), tak ten součet najdu :-)  Odvážně se tedy k výhře hlásím i já :-))