Matematické Fórum

↑ check_drummer:
Pozdravujem,
Pozri sem https://cs.wikipedia.org/wiki/Neeukleidovská_geometrie
Aj une verzie ( anglicku, franvuzku, atd….).

↑ check_drummer:
Pozdravujem,
Mas uplne pravdu, pojem geometria je pouzivany vdaka historickemu vyvoju tejto casti ( ci skor “tychto” ) matematiky. 
Nic ti nebrani studovat “rozne axiomaticke teorie” ( skus sa zabavit napr. vdaka google ….  ).

Já zas třeba pořád přemýšlím nad těmi nerozhodnutelnými tvrzeními.
Co když je třeba zrovna tady ten Collatzův problém nerozhodnutelným tvrzením?
Co když prostě neexistuje důkaz pro libovolné N?

Abychom mohli něco dokázat pro každé přirozené číslo, kterých je nekonečno, musíme najít buď nějaký rekurzivní důkaz, nebo důkaz sporem.
V principu bychom to mohli dokázat pro každé N, ale to naše pojetí matematiky prostě nepřipouští. Nepovoluje zkoušet nekonečné množství kombinací. Takže některé věci nemusejí jít dokázat, i když v principu platí - akorát to nemůžeme ověřit.

A tím pádem si můžeme dovolit tvrzení, že existuje nějaké číslo, které tu Collatzovu doměnku nesplňuje. Nikdy ho nenajdeme (protože "ve skutečnosti" takové číslo třeba neexistuje), ale to my se nikdy nedozvíme, takže můžeme pořád předpokládat, že takové číslo existuje - a není to nic proti ničemu. Protože pokud nemáme důkaz platící pro celou tu nekonečnou množinu celých čísel, vždycky si můžeme (trochu bláznivě) představovat, že takové číslo existuje. Někde jinde, než co už jsme zkusili.

Já vím, tohle zrovna není případ kdy by bylo jisté, že důkaz neexistuje, ale mohlo by to tak být, v principu.

check_drummer napsal(a):

Aby to bylo nerozhodnutelné je podstatné že ten důkaz (ani důkaz negace) neexistuje - ani v principu. Tedy když víš že se to zacyklí, tak důkaz existuje, i když ho zatím nemáš, ani nemusíš vědět na jakém čísle se to zacyklí, stačí jen informace že víš že se to pro nějaké číslo zacyklí.

Já právě moc nechápu, jak je možné dokázat, že něco nelze dokázat.

Co když nelze dokázat, že takové číslo (které by vedlo třeba na zacyklení) existuje ... tak je to nerozhodnutelné tvrzení? A můžeme si přidat další axiom - že takové čislo existuje. To chápu. Tím se nic nepokazí. I když ho nikdo nikdy nenajde, pořád můžeme předpokládat, že někde existuje.
Ale co když si přidáme axiom že neexistuje ... a pak ho někdo najde. Tak máme spor. Spor pocházející z toho, že něco bylo nedokazatelné, ale někdo takové číslo nakonec uhádl.

Takže mi pořád vrtá v hlavě, jestli to, že je něco nedokazatelné, znamená automaticky, že je to i nerozhodnutelné.

↑ MichalAld:
Ano, to že nulou nekončí se obtížně dokazuje - i v případě že by ti někdo dal to konkrétní číslo, kterým máš začít, tak bys nebyl schopen dokázat, že ta poslounost nulou nekončí....

Ale teď je tedy otázka - co platí ve standardním modelu Peanovy aritmetiky - zda Goodsteinova věta nebo její negace, jedno z toho platit musí.. A protože Goodsteinovu větu lze dokázat v silnější teorii, tak Goodsteinova věta platí ve standardním modelu.... tedy žádný protipříklad v něm neexistuje.

check_drummer napsal(a):

Ale teď je tedy otázka - co platí ve standardním modelu Peanovy aritmetiky - zda Goodsteinova věta nebo její negace, jedno z toho platit musí..

No údajně né. Údajně je to nerozhodnutelné tvrzení. Vlastně zatím jediné takové “hezké” nerozhodnutelné tvrzení, které se podařilo najít.

Jako člověk by řekl, že buď platí nebo né, že to není věc volby. Ale díky tomu, že důkaz nemůže zahrnovat nekonečné množství kroků to prostě ani dokázat ani vyvrátit nelze.
A to že to lze dokázat v silnější teorii - to lze brát tak, že si musíme zvolit takovou variantu, která nám tu silnější teorii nebude kazit. Nevytvoří nám tam spor.
Tedy, že ta silnější teorie zahrnuje nějaké axiomy ekvivalentní tomu, že “Goodsteinova věta platí”

↑ MichalAld:
Že něco platí (v nějakém modelu) a že je něco dokazatelné jsou dvě různé věci. Aby něco bylo dokazatelné, musí to platit ve všech modelech. Ale v konkrétním modelu to buď platí nebo neplatí, jiná možnost není. Jenže naneštěstí kromě standardního modelu máme i spoustu nestandardních modelů a v některém z nich Goodsteinova věta neplatí.

↑ check_drummer:Modely, to mě nic moc neříká.

↑ MichalAld:
Taková hodně zajímavá věta je (zhruba řečeno), že když má teorie nekonečný model, tak má spočetný model. Třeba i reálná čísla mají spočetný model, apod....