Matematické Fórum

nordec · 18. 09. 2009 17:12

Prosím o radu, jak zjistím lokální a globální extrémy funkce

f(x,y)=(x+y)e^(-2x-3y) na množině M={x>0;y>0} ?

Vím, že extrémy mohou být 1) ve stacionárních bodech 2) v bodech, kde derivace neexistuje 3) na hranici vyšetřované oblasti

1) parciální derivace mně vyšly:
$\frac{\partial f}{\partial x}=(1-2x-2y)e^{(-2x-3y)}$
$\frac{\partial f}{\partial y}=(1-3x-3y)e^{(-2x-3y)}$

$(1-2x-2y)e^{(-2x-3y)}=0$
$(1-3x-3y)e^{(-2x-3y)}=0$
tato soustava rovnic nemá řešení

2) funkce je spojitá, ve všech bodech existuje derivace

3) množina žádnou hranici nemá, protože je otevřená

Opravdu funkce žádné extrémy nemá? Myslím si, že někde dělám chybu...

Olin · 18. 09. 2009 21:08

Domnívám se, že je to správně, zkoušel jsem si vykreslit nějaké grafy a odpovídalo by to.

kaja(z_hajovny) · 18. 09. 2009 22:26

taky mam za to ze to extremy nema

bobik · 19. 09. 2009 01:50

↑ Olin:iba mam poznamku k tomu druhemu bodu, ak je funkcia spojita tak nemusi mat nutne derivaciu ale naopak to plalatit musi, t.z. ze netreba z tohoto hladiska nutne hladat derivaciu,naozaj tam nemusi existovat

nordec · 19. 09. 2009 17:16

Kdyby funkce šla k nekonečnu - to se doufám jako globální extrém nebere.

Jinak po dosazení pár hodnot je rostoucí i klesající. Tak se asi vždy k nějaké hodnotě blíží, ale konkrétní bod maximální nebo minimální hodnoty se nedá určit. To se mi na tom trochu nezdá.

Neměly by se spočítat nějaké limity, nebo to u extrémů není třeba?

Oxyd · 19. 09. 2009 17:25

nordec napsal(a):
Kdyby funkce šla k nekonečnu - to se doufám jako globální extrém nebere.

Ne, nebere -- když roste do nekonečna, tak když si vybereš libovolný bod z definičního oboru, tak vždycky najdeš bod, ve kterém má ještě vyšší hodnotu -- takže nemá maximum. Podobně pro minimum.

nordec napsal(a):
Jinak po dosazení pár hodnot je rostoucí i klesající. Tak se asi vždy k nějaké hodnotě blíží, ale konkrétní bod maximální nebo minimální hodnoty se nedá určit. To se mi na tom trochu nezdá.

Hádám, že to bude tou otevřeností té množiny -- kdyby množina byla uzavřená, tak mi připadá, že bude mít extrém v (0; 0) -- ovšem protože je otevřená, tak když si vybereš libovolný bod libovolně blízko počátku, tak vždycky si můžeš vybrat ještě jiný bod, který bude ještě blíž počátku, ve kterém ta funkce bude mít ještě vyšší hodnotu -- přímo do počátku ovšem jít nesmíš, neboť ten není v definičním oboru.

Na tu funkci sem vytáhl i epsilon a pokusil sem se ukázat, že skutečně extrém nemá, ovšem nepovedlo se mi to. Možná někdo ze zkušenějších matematiků by mohl přidat nějaký důkaz, pokud se mu chce?

Pavel Brožek · 19. 09. 2009 18:25

↑ Oxyd:

Myslím, že není potřeba to řešit přes epsilon. Stačí si uvědomit, že funkce je spojitá a v nule má funkční hodnotu nula, takže na jejím okolí najdeme libovolně malé hodnoty. Pokud tedy zvolíme bod z té otevřené množiny, stačí jít dostatečně blízko k nule a musí tam být bod, kde je funkční hodnota ještě menší.

Kdybychom to zkoumali na uzavřené množině (myslím tím uzávěr množiny ze zadání), tak bychom nalezli mimo globálního extrému [0, 0] ještě globální extrém $\[\frac{1}{2},0\]$ .

adjamot · 09. 11. 2009 16:52

můžete se podívat na tuto funkci: $f(x,y)=(x^2+y^2)*e^{-(x^2+y^2)})$ a vypočíst její lokální extrémy????

jelena · 10. 11. 2009 01:03

↑ adjamot:

můžeme.

kaja(z_hajovny)

koukam na to a pomohlo by znat extremy funkce $f(r)=r^2 e^{-r^2}$

Olin · 10. 11. 2009 09:37

↑ kaja(z_hajovny):
A je to vůbec nutné? Když víme, jak ta funkce vypadá, můžeme hned vyloučit všechny body až na jeden, protože v každém okolí bude část oblouku…

jelena · 10. 11. 2009 09:40

↑ kaja(z_hajovny):

Zdravím Vás srdečně :-)

lingvisticky vzato, kolega ↑ adjamot: se neptá na to, co by mu pomohlo. Tady také nenamotivoval.

My jsme na toto zadaní narazili v letě, při přípravě na jednu zkoušku, nejdřív byl pokus nějak pořešit kružnici přes převod do polárních souřadnic, ale pak jsme našli substituci, jak navrhujete, děkuji za doplnění.

------
Nějaký extrém... hm, ale jak se dá napsat v 6.52 něco smysluplného - to je mi zahadou ovšem. Kolegu Olina také srdečně zdravím :-)

Matematické Fórum

#1 18. 09. 2009 17:12

Extrémy ošklivé funkce

#2 18. 09. 2009 21:08

Re: Extrémy ošklivé funkce

#3 18. 09. 2009 22:26

Re: Extrémy ošklivé funkce

#4 19. 09. 2009 01:50

Re: Extrémy ošklivé funkce

#5 19. 09. 2009 17:16

Re: Extrémy ošklivé funkce

#6 19. 09. 2009 17:25

Re: Extrémy ošklivé funkce

nordec napsal(a):

nordec napsal(a):

#7 19. 09. 2009 18:25

Re: Extrémy ošklivé funkce

#8 09. 11. 2009 16:52

Re: Extrémy ošklivé funkce

#9 10. 11. 2009 01:03

Re: Extrémy ošklivé funkce

#10 10. 11. 2009 06:52 — Editoval kaja(z_hajovny) (10. 11. 2009 06:52)

Re: Extrémy ošklivé funkce

#11 10. 11. 2009 09:37

Re: Extrémy ošklivé funkce

#12 10. 11. 2009 09:40

Re: Extrémy ošklivé funkce

Zápatí