Matematické Fórum

Jurashek · 28. 11. 2009 00:17

Všechny zdravíma chtěl bych Vás poprosit o pomoc. Dostal jsem do seminárky asi dvacet příkladů a tyhle tři nemůžu za boha spočítat nikdy jsem se s podobným typem nesetkal (u rovnic) a graf fce cotg nevím jak udělat. Děkuju moc

KennyMcCormick

↑ Jurashek:
Graf bude jako $y=\cot{x}$ , jen posunutý o $\frac\pi3$ jednotek doleva a o $2$ jednotky dolů. Graf $y=\cot{x}$ najdeš tady.

$\cos(x+30^o)+\cos(x-10^o)=0.5\nl \cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(x-\frac{\pi}{18}\right)=0.5\nl \cos{x}\cos\frac{\pi}{6}-\sin{x}\sin\frac{\pi}{6}+\cos{x}\cos\frac{\pi}{18}+\sin{x}\sin\frac{\pi}{18}=0.5\nl \frac{\sqrt3}{2}\cos{x}-0.5\sin{x}+\cos\frac\pi{18}\cos{x}+\sin\frac\pi{18}\sin{x}=0.5\nl \cos{x}\left(\frac{\sqrt3}2+\cos\frac\pi{18}\right)+\sin{x}\left(-0.5+\sin\frac\pi{18}\right)=0.5\nl \sqrt{1-\sin^2{x}}\left(\frac{\sqrt3}2+\cos\frac\pi{18}\right)+\sin{x}\left(-0.5+\sin\frac\pi{18}\right)=0.5\nl \sqrt{1-\sin^2{x}}\left(\frac{\sqrt3}2+\cos\frac\pi{18}\right)=0.5-\sin{x}\left(-0.5+\sin\frac\pi{18}\right)\nl \sqrt{1-\sin^2{x}}=\frac{0.5-\sin{x}\left(-0.5+\sin\frac\pi{18}\right)}{\frac{\sqrt3}2+\cos\frac\pi{18}}\nl 1-\sin^2{x}=\frac{0.25-\sin{x}\left(-0.5+\sin\frac\pi{18}\right)+\sin^2{x}\left(-0.5+\sin\frac\pi{18}\right)^2}{\left(\frac{\sqrt3}2+\cos\frac\pi{18}\right)^2}\nl \sin{x}=t\nl 1-t^2=\frac{0.25-t\left(-0.5+\sin\frac\pi{18}\right)+t^2\left(-0.5+\sin\frac\pi{18}\right)^2}{\left(\frac{\sqrt3}2+\cos\frac\pi{18}\right)^2}\nl \frac{-\left(\frac{\sqrt3}2+\cos\frac\pi{18}\right)^2-\left(-0.5+\sin\frac\pi{18}\right)^2}{\left(\frac{\sqrt3}2+\cos\frac\pi{18}\right)^2}t^2+\frac{-0.5+\sin\frac\pi{18}}{\left(\frac{\sqrt3}2+\cos\frac\pi{18}\right)^2}t+\frac{\left(\frac{\sqrt3}2+\cos\frac\pi{18}\right)^2-0.25}{\left(\frac{\sqrt3}2+\cos\frac\pi{18}\right)^2}=0\nl a\approx -1.03\nl b\approx-0.1\nl c\approx0.93\nl t\approx-1\vee t\approx0.9\nl \sin{x}\approx-1\vee\sin{x}\approx0.9\nl x\approx-\frac{\pi}2+2k\pi\vee x\approx1.12+2k\pi$

$\sin{3x}-\sin{2x}=0\nl 3\sin{x}\cos^2{x}-\sin^3{x}-2\sin{x}\cos{x}=0\nl 3\sin{x}(1-\sin^2{x})-\sin^3{x}-2\sin{x}\sqrt{1-\sin^2x}=0\nl 3\sin{x}-3\sin^3{x}-\sin^3{x}-2\sin{x}\sqrt{1-\sin^2x}=0$
První řešení:
$x=0+k\pi$

$\frac32-2\sin^2{x}=\sqrt{1-\sin^2{x}}\nl \frac94-6\sin^2{x}+4\sin^4{x}=1-\sin^2{x}\nl 4\sin^4{x}-5\sin^2{x}+\frac54=0\nl t=\sin^2{x}\nl 4t^2-5t+\frac54=0\nl t=\frac18(5-\sqrt5)\vee t=\frac18(5+\sqrt5)\nl \sin^2{x}=\frac18(5-\sqrt5)\vee \sin^2{x}=\frac18(5+\sqrt5)$

Další 4 řešení:

$x=\pm\frac{\pi}5+2k\pi\vee x\pm\frac35\pi+2k\pi$

EDTI: Opravena chyba/překlep z $\frac53$ na $\frac35$ .

zdenek1 · 28. 11. 2009 08:43

↑ Jurashek:
rovnice a) Použij vzorec $\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2$
$2\cos\frac{x+30^o+x-10^o}2\cos\frac{x+30^o-x+10^o}2=\frac12$
$\cos(x-10^o)==\frac1{4\cos20^o}$

a teď už to spočítáš numericky.

rovnice b) $\sin3x-\si2x=0$ zase vzorec pro rozdíl sinů
$2\cos\frac{3x+2x}2\sin\frac{3x-2x}2=0$
po úpravě
$\cos\frac{5x}2=0$ nebo $\sin\frac x2=0$

$\frac{5x}2=\frac\pi2 +k\pi$ nebo $\frac x2=k\pi$
$x_1=\frac\pi5+\frac{2k\pi}5$ , $x_2=2k\pi$

Jurashek · 28. 11. 2009 12:54

↑ zdenek1: děkuju moc všem:-) jen se zeptám nemělo by být v tvém řešení u druhé rovnice x1=36°+k.144° a x2=k.720° protože u řešení sin a cos je řešení + k.360° nebo teda k.2PI. A jinak jsem celkově zmatenej, oba dva máte trošku jinčí výsledky. tak nevím děkuji

Chrpa · 28. 11. 2009 13:38

↑ Jurashek:
f:

zdenek1 · 28. 11. 2009 15:22

↑ Jurashek:
To je právě výjimka. Rovnice $\cos x =0$ má řešení $x=\frac\pi2+k\pi$ .
Že jsi zmatenej z Kennyho výpočtu se ani nedivím. Zásadní problém jeho metody je, jak dostat z těch odmocnin úhly.
Další věc je, že když nemáme výsledky napsané ztejným vztahem, neznamená to, že nejsou stejné. Zkus si spočítat řešení v 1 periodě ( $2\pi$ ) a zjistíš, že je máme úplně totožné.

osamela · 29. 11. 2009 19:40

Potřebovala bych poradit jak co nejjednodušeji poznat v zadání zda se jedná o sinovou nebo kosinovou větu-pořád na to nemohu přijít...plete se mi to...díky

Doxxik · 29. 11. 2009 20:02

řekl bych, že cvičit a cvičit (resp. počítat a počítat), aby se ti to zautomatizovalo.. ;)

zdenek1 · 29. 11. 2009 20:11

↑ osamela:
U kosinové věty máš dvě strany a úhel jimi sevřený. U sinové máš dvě strany a úhly proti nim - teda v příkladě nemáš většinou všechny 4 údaje ale jenom 3 a ten 4. počítáš.

jahoda7 · 29. 11. 2009 23:25

Pěkný večer, předem se omlouvám za hloupý dotaz a bude to asi uplně primitivní, páč se to týká samého počátku řešení goniometrických rovnic. Ale není mi jasná jedna věc a to následující.

Např. cotgx = 1

Já bych postupovala následným způsobem, tedy, že si zvolím, co je X a pak to vypočítala pro jednotlivé kvadranty, kdy je cotg kladný, tedy první a třetí. Když se ale podívám výsledku, je tam zapsaný pouze výsledek, kde se počítá s prvním kvadrantem a třetím už ne, je to tak u více příkladů a i když nejsou výsledky v těchto kvadrantech shodné, v úvahu se bere pouze jeden z nich. Mohli byste mi prosim nekdo poradit, jak to mam rozpoznat, kdy pouzit oba, kdy jeden? Děkuji moc

jelena · 29. 11. 2009 23:47

↑ jahoda7:

Zdravím,

výsledek rovnic s cotg, tg se zapisuje s periodou $\pi$ , pro tvůj příklad je zřejmě takto: $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$ , čímž se dostáváš do I. nebo III. kvadrantu (není nutné hledat "další možnou hodnotu úhlu", jak je to u sin, cos).

Stačí tak nebo je potřeba více podrobně?

KennyMcCormick

↑ jahoda7:
Výsledek je
$\cot{x}=1\nl x=arccot{1}\nl x=\frac{\pi}4+k\pi\wedge k\in\mathbb{Z}$

Řešení jsou v I. a ve II. kvadrantu a je jich tam nekonečně mnoho. Ve III. kvadrantu nenajdeš žádný, protože graf vypadá takhle:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=cot%28x%29%3D1

EDIT: Moment, ten kvadrant vlevo nahoře není II.? Jak se to teda čísluje?

jahoda7 · 29. 11. 2009 23:53

Zdravím, děkuju moc, ale já tu mám příklady třeba cos x= - odmocnica ze 2/2 a take tu pro to mam jen jedno reseni, stejne tak cos X = odmocnica ze 3 / 2. U nekterych uloh s tangens jsou vysledky zapsany dva u nekterych ne. Proto v tom mam zmatek, ale mozna jen spatne chapu, co jsi vysvetlila. Jen ja bych vzdy pocitala pro oba dva kvadranty a nevim, zda to neni chyba. Dekuji moc.

jelena · 30. 11. 2009 00:03

↑ KennyMcCormick:

Zdravím, kvadranty jsou na jednotkové kružnici - řešení pro tg, cotg je stejné v I, III kv. Souhlasíš?

↑ jahoda7:

Je potřeba pomalu a v klidu se podívat na jednotkovou kružnici a je to tak, že pro sin, cos hledáme jeden úhel, k tomu přidáme periodu 2kpi, pak druhý úhel, ke kterému přidáme periodu 2kpi: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=68771#p68771 nebo: http://www.matweb.cz/goniometrie

Pro tg, cotg máme situaci zjednodušenou, jak jsme popsali s kolegou.

Hodně podrobně: http://www.ucebnice.krynicky.cz/Matemat … ovnice.pdf

KennyMcCormick · 30. 11. 2009 00:10

↑ jelena:
Ah, ona mluvila o jednotkový kružnici. Už je mi to jasný. Měl bych si jít lehnout :-/

jahoda7 · 30. 11. 2009 09:39

↑ jelena: Ahoj, já se moc omlouvám, ale asi mi pořád nedochází, jak to v tom samotném příkladě aplikovat. Nebyla by jsi prosím tak hodná a nemohla mi to u toho jednoho příkladu se sinem či kosinem vysvětlit? Děkuju moc. Na jednotkovou kružnici jsem se už dívala.

jahoda7 · 30. 11. 2009 09:46

↑ jelena: Jestli muzu rict konkretni priklad, tak tu mam cos x = - odmocnina ze 2 / 2 a výsledek ma vyjít (8k plus minus 3) pí/4. Nějak si nedokážu z té jednotkové kružnice odvodit, jaktože my vyšel výsledek, jako kdybych počítala jen s druhým kvadrantem, kde je cos v mínusu a ne i s tím třetím a jaktože mi tam vyšlo plus minus dokonce. Děkuju moc

zdenek1 · 30. 11. 2009 10:24

↑ jahoda7:

Pro kosinus najdeš na ose $x$ hodnotu $-\frac{\sqrt2}2$ , uděláš kolmici. Tam, kde kolmice protne jednotkovou kružnici sestrojíš příslušné úhly. Snad je to z obrázku jasné.
První úhel $x_1=\frac{3\pi}4$ . U kosinu se řešení opakují s periodou $2\pi$ , takže $x_1=\frac{3\pi}4+2k\pi$ .
Úhel $x_2$ můžeš měřit proti směru hodinových ručiček, nebo (jako na obrázku) po směru. Proti směru je kladný směr, po směru je záporný. Takže
$x_2=-\frac{3\pi}4+2k\pi$
Pokud by jsi v testu odpověděla takto, mělo by to být uznáno jako správná odpověď. Autoři jsou ale fajnšmekři, takže obě řešení spojí do jednoho výrazu.
$x=\pm\frac{3\pi}4+2k\pi$ a upraví. $x=\pm\frac{3\pi}4+2k\pi=\frac{8k\pi\pm3\pi}4=\frac\pi4(8k\pm3)$

Je to jasné?

jahoda7 · 30. 11. 2009 11:47

A proč třeba u příkladu cos x = - odmocnina ze 3 / 2 to neudělám stejným způsobem? Ale tak, že vypočítám druhý a třetí kvadrant a rovnou my vyjdou výsledky? Já totiž nechápu ten princip toho, jak se rozhodnu proto, že v přkladu, který jsi mi právě vysvětlil to jen udělám zrcadlově, kdežto tady vypočítám oba kvadranty a mám výsledek. V jiných přííkladech mi třeba výsledek výjde dokonce celý v mínusu.

jahoda7 · 30. 11. 2009 11:49

↑ zdenek1: Jinak děkuji moc za vysvětlení tohoto příkladu.

zdenek1

↑ jahoda7:
To záleží jen na tobě. Když to nechceš dělat "zrcadlově", tak nemusíš. V tom příkladu, který jsem vysvětloval, bych mohl $x_2$ měřit v kladném směru, vyšlo by mi $x_2=\frac{5\pi}4+2k\pi$ a to je taky dobře. Já se snažil vysvětlit, jak autoři dospěli k odpovědi, nad kterou jsi se podivovala.

A samozřejmě, u příkladu $\cos x=-\frac{\sqrt3}2$ to můžeš udělat steným způsobem. Dostaneš $x=\pm\frac{5\pi}6+2k\pi$

jahoda7 · 30. 11. 2009 14:12

↑ zdenek1: tak to děkuji moc, ja pořád hledala vědu v tom, proč by to tak nemohlo být:)

Jurashek · 30. 11. 2009 17:08

↑ zdenek1: Ještě bych se k tomu rád vrátil. Když dosadím ze substituce sinb=0 b=x/2 pak b=0°+k.360° a po úpravě x=k.720° není divných těch 720? nešlo by tam nechat jen těch 360? děkuju

zdenek1 · 30. 11. 2009 17:27

↑ Jurashek:
Není divných těch 720°, ale těch tvých k360°. Už jsem ti jednou psal, že pro rovnice $\sin b=0$ a $cos b=0$ je perioda řešení $k\pi$ (pro tebe k180°).

Matematické Fórum

#1 28. 11. 2009 00:17

goniometrie

#2 28. 11. 2009 02:30 — Editoval KennyMcCormick (28. 11. 2009 12:43)

Re: goniometrie

#3 28. 11. 2009 08:43

Re: goniometrie

#4 28. 11. 2009 12:54

Re: goniometrie

#5 28. 11. 2009 13:38

Re: goniometrie

#6 28. 11. 2009 15:22

Re: goniometrie

#7 29. 11. 2009 19:40

Re: goniometrie

#8 29. 11. 2009 20:02

Re: goniometrie

#9 29. 11. 2009 20:11

Re: goniometrie

#10 29. 11. 2009 23:25

Re: goniometrie

#11 29. 11. 2009 23:47

Re: goniometrie

#12 29. 11. 2009 23:48 — Editoval KennyMcCormick (29. 11. 2009 23:48)

Re: goniometrie

#13 29. 11. 2009 23:53

Re: goniometrie

#14 30. 11. 2009 00:03

Re: goniometrie

#15 30. 11. 2009 00:10

Re: goniometrie

#16 30. 11. 2009 09:39

Re: goniometrie

#17 30. 11. 2009 09:46

Re: goniometrie

#18 30. 11. 2009 10:24

Re: goniometrie

#19 30. 11. 2009 11:47

Re: goniometrie

#20 30. 11. 2009 11:49

Re: goniometrie

#21 30. 11. 2009 14:08 — Editoval zdenek1 (30. 11. 2009 14:12)

Re: goniometrie

#22 30. 11. 2009 14:12

Re: goniometrie

#23 30. 11. 2009 17:08

Re: goniometrie

#24 30. 11. 2009 17:27

Re: goniometrie

Zápatí