Matematické Fórum

xarox · 12. 01. 2010 22:50

Ahoj,

moc prosím o pomoc s dořešením příkladů. Budu mít zkoušku za matematiky a mám k dispozici ukázkový test. Většinu jsem snad zdárně vyřešil, ale lineární zobrazení a nějaké drobnosti mi moc jasné nejsou (nestihli jsme to dostatečně procvičit).

V příkladu č. 1) - c)
Vlastní vektor se myslím zjistí ze 3 rovnic o 3 neznámých, ale netuším jak ho z toho dostat.

Př.2) - a)
Nevím jak bych měl popsat co to jsou ty souřadnice vektoru vzhledem k basi

Př. 3) - b)
Vůbec netuším co mám udělat.

c)
Jak poznám jestli je to lineární zobrazení? Je to tak že by se x měly rovna 0?

d)
Také jsem si s tím nevěděl moc rady.

Moc děkuju všem za Vaši pomoc

gladiator01

Tak např. 1c) Dosadíš si lambdu (do matice z které se počítá char. polynom) a matici upravíš gaussovou eliminací (třeba), jedna rovnice ti vypadne zavedeš si tedy parametr a dopočítáš. Vyjde ti v(1,-2,3) (wolfram).

lukaszh · 12. 01. 2010 23:36

↑ xarox:
3.b No treba to dokázať alebo vyvrátiť. Ono to platí. Lineárne zobrazenie zobrazuje nulový prvok na nulový prvok.
$0=\sum_{k=1}^{n}0\cdot e_k\nlL(0)=L$\sum_{k=1}^{n}0\cdot e_k$=\sum_{k=1}^{n}0\cdot L(e_k)=0$

Olin · 12. 01. 2010 23:55

↑ lukaszh:
Možná pohodlnější je následující postup:
$L(0) = L(0+0) = L(0)+L(0)\nl L(0) - L(0) = L(0) + L(0) - L(0)\nl L(0) = 0$
Neklade to vůbec žádné požadavky na dané vektorové prostory, např. konečnost báze.

xarox · 13. 01. 2010 14:47

Zatím děkuji všem přispěvovatelům, už mi to začíná být jasnější:-)

Sentello · 13. 01. 2010 18:12

↑ gladiator01:
Zdravím, nedalo mě to a musím se zeptat. Jak konkrétně se dosadí ten parametr? Můžu požádat o trochu detailnější popis pro nezasvěcené ?

xarox · 13. 01. 2010 21:39

Jak mám poznat u příkladu 3c) zdali je to lineární zobrazení či nikoliv?

LukasM · 13. 01. 2010 21:52 — Editoval LukasM (13. 01. 2010 21:52)

↑ xarox:
Pokud má být lineární, musí platit $K(\alpha x+y)=\alpha K(x)+K(y)$ (kde x,y jsou vektory z R^2 a alfa reálné číslo). Takže si vypočítej obraz toho vektoru $\alpha x+y$ a podívej se jestli se to rovná tomu čemu se to rovnat má. Stačí takhle? Předpokládám, že na cvičení jste dělali podobné příklady.

xarox · 13. 01. 2010 22:10

↑ LukasM:
Aha díky, takže podle tohohle by mělo i) vyjít lineární, ale ii) už ne protože je tam ta 3.

xarox · 13. 01. 2010 22:18

Ještě jednu otázečku, zatím sem 3d) ani neřešil. U toho příkladu 2a) Co rozumíme souřadnicemi vektoru vzhledem k dané bázi?
Stačí odpověď: Souřadnice vektoru báze nám určují, v jakém prostoru se daná báze nachází? Nebo si to myslím špatně?

LukasM · 13. 01. 2010 22:27

↑ xarox:
Linearita těch zobrazení je dobře, nevím nakolik matematicky správně jsi to dokázal, ale je to tak.
Souřadnice v bázi - to cos napsal je obávám se úplný nesmysl. Podívej se do skript, je to pojem, který musel být nějak definován - a na to se tu ptají. Případně si zkus přečíst tohle a hlavně to vlákno na jaké tam odkazuju.

xarox · 13. 01. 2010 22:37 — Editoval xarox (13. 01. 2010 22:39)

↑ LukasM:
Já sem si to myslel, že to bude blbě. právě že jsem se koukal na wikipedii a tak, ale vlastně nejsem schopen nějak jednoduše říct, k čemu ty souřadnice vzhledem k bázi jsou dobrý.

Jo už to vidím na dalším odkazu - aha tak takhle to je.

Díky moc

LukasM · 13. 01. 2010 22:40

↑ xarox:
Počkej, jednoduše říct.. To vám o tom ve škole nic neřekli? Nemáte skripta kde to je vysvětlený? A přečetl sis ty dvě odkazovaná vlákna? Já osobně ze sebe nic lepšího asi stejně nevytlačím. A když to neumíš říct jednoduše, umíš to alespoň složitě?

K příkladu 3d) - být tebou, tak bych se ho zatím řešit ani nepokoušel, nejdřív musíš udělat a hlavně pochopit tu dvojku.

gladiator01

↑ Sentello:

↑ gladiator01:
Zdravím, nedalo mě to a musím se zeptat. Jak konkrétně se dosadí ten parametr? Můžu požádat o trochu detailnější popis pro nezasvěcené ?

když chceš počítat vlastní čísla, tak si matici upravíš tak že od čísel na hlavní diagonále odečteš lambda
l je lambda

(1-l -2 1 )
(-1 1-l 1 )
(1 0 -1-l )

když vypočteš vlastní čísla, tak je potom za l postupně dosadíš vlastní čísla a spočteš řešení soustavy a tím získáš vlastní vektory

Nebo na co si se ptal?

xarox · 13. 01. 2010 22:45

Jasně, skripta letos nemám, protože ty definice co bereme na přednášce jdou opravdu mimo mě, ale tamten odkaz mi dost pomohl - díky. Zítra ještě budu počítat, tak bych na to měl přijít.

xarox · 14. 01. 2010 12:57 — Editoval xarox (14. 01. 2010 13:03)

↑ gladiator01:
Sentello se ptal na to, když máme zadáno jedno vlastní číslo | = 2 a k němu najít vlastní vektor, tak to spočítám tak jak jsi psal - v matici odečtu na diagonále |, pak dosadím za | dvojku a gaussovou eliminací dostanu 2 rovnice:

v1 - 2v2 - v3 = 0
v2 + 2v3 = 0

A nás zajímá, jak to máme přesně spočítat s tím parametrem. Předpokládám, že parametr třeba t by měl být nenulový?

Protože jsem za t dosadil 1 a výsledek mi vychází v(-3;-2;1), ale podle Wolframu to je v(1;-2;3)

LukasM · 14. 01. 2010 13:08 — Editoval LukasM (14. 01. 2010 13:11)

↑ xarox:
Ten vlastní vektor (resp. jeho složky) jsou řešením té soustavy rovnic cos napsal (akorát bych řekl že tam máš špatně jedno znaménko). Takže stačí zvolit v2 a v3 tak aby splnily druhou rovnici a pak je dosadit do první a dopočítat v1.

Něco podobného je tady, tady, nebo v témátu o spektrálním rozkladu (tam je podobných úloh asi milión).

Stačí tak?

Edit: vlastní vektor podle Wolframu není to co jsi napsal, ale to co ti vyjde když si opravíš to znaménko.

xarox · 14. 01. 2010 13:17 — Editoval xarox (14. 01. 2010 13:17)

↑ LukasM:

Jo aha to je takhle jednoduchý, já právě nepochopil jak to mám tu druhou rovnici správně vyjádřit.

Jo jinak to znaménko mě nějak uniklo při opisování matice :-)

Díky moc

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2010 22:50

Lineární zobrazení - base, vlastní vektor

#2 12. 01. 2010 23:20 — Editoval gladiator01 (12. 01. 2010 23:29)

Re: Lineární zobrazení - base, vlastní vektor

#3 12. 01. 2010 23:36

Re: Lineární zobrazení - base, vlastní vektor

#4 12. 01. 2010 23:55

Re: Lineární zobrazení - base, vlastní vektor

#5 13. 01. 2010 14:47

Re: Lineární zobrazení - base, vlastní vektor

#6 13. 01. 2010 18:12

Re: Lineární zobrazení - base, vlastní vektor

#7 13. 01. 2010 21:39

Re: Lineární zobrazení - base, vlastní vektor

#8 13. 01. 2010 21:52 — Editoval LukasM (13. 01. 2010 21:52)

Re: Lineární zobrazení - base, vlastní vektor

#9 13. 01. 2010 22:10

Re: Lineární zobrazení - base, vlastní vektor

#10 13. 01. 2010 22:18

Re: Lineární zobrazení - base, vlastní vektor

#11 13. 01. 2010 22:27

Re: Lineární zobrazení - base, vlastní vektor

#12 13. 01. 2010 22:37 — Editoval xarox (13. 01. 2010 22:39)

Re: Lineární zobrazení - base, vlastní vektor

#13 13. 01. 2010 22:40

Re: Lineární zobrazení - base, vlastní vektor

#14 13. 01. 2010 22:45 — Editoval gladiator01 (14. 01. 2010 14:57)

Re: Lineární zobrazení - base, vlastní vektor

#15 13. 01. 2010 22:45

Re: Lineární zobrazení - base, vlastní vektor

#16 14. 01. 2010 12:57 — Editoval xarox (14. 01. 2010 13:03)

Re: Lineární zobrazení - base, vlastní vektor

#17 14. 01. 2010 13:08 — Editoval LukasM (14. 01. 2010 13:11)

Re: Lineární zobrazení - base, vlastní vektor

#18 14. 01. 2010 13:17 — Editoval xarox (14. 01. 2010 13:17)

Re: Lineární zobrazení - base, vlastní vektor

Zápatí