Matematické Fórum

Tomas.P

Zdravím. Potřeboval bych poradit, jak by se dala vyřešit tato limita posloupnosti:
$\lim$\frac{5n+4}{5n+3}$^{3n+2}$

Napadlo mě, že bych to mohl rozepsat jako: $\lim$1+\frac{1}{5n+3}$^{3n+2}$ a

pak pomocí vzorce : $\lim$1+\frac{1}{n}$^n = e$ vyřešit.

Jestli jsem postupoval dobře, co bych měl udělat jako další krok.

V Mathcadu vyšel výsledek: $\lim$\frac{5n+4}{5n+3}$^{3n+2} = e^{\frac35}$

Prosím o radu

jelena · 31. 03. 2010 08:40

↑ Tomas.P:

Zdravím,

vše v pořádku, na závěr proved, prosím, takovou úpravu..

zápis výsledku je tak? e^{\frac{3}{5}}: $e^{\frac{3}{5}}$

Tomas.P · 31. 03. 2010 08:51

Привет :)

Zápis výsledku: e^{\frac35} : $e^{\frac35}$

Měl jsem si projít starší příspěvky :( Alespoň jsem se naučil psát výrazy v TeX :)

Tomas.P

Спасибо

Sám bych na to nepřišel :(

V mathcadu jsem si kontroloval několik limit posloupností a v některých případech se mé řešení neshodlo s řešením v mathcadu.

Mé řešení:

$\lim$\frac{2^{2n+5}-3^{n+2}} {2^{n+1}-3^{n}+4^{n+1}}$ = 8$

Řešení v mathcadu:

$\lim$\frac{2^{2n+5}-3^{n+2}} {2^{n+1}-3^{n}+4^{n+1}}$ = 9$

Mé řešení:

$\lim$\frac{1+2+...+n} {\sqrt[3]{8n^6-n}}$ = \frac{1}{4}\$

První výraz jsem rozepsal jako : $1+2+...+n = \frac{1}{2}n(n+1)\$

Řešení v mathcadu:

$\lim$\frac{1+2+...+n} {\sqrt[3]{8n^6-n}}$ = 0$

Můžete mi пожалуйста poradit, jestli jsem se spletl já nebo mathcad.

jelena · 31. 03. 2010 12:26

↑ Tomas.P:

V těchto posledních zadaních souhlasím s tebou (výsledky ze stroje se mi nezdají).

К сожалению, у меня нет свободного времени. Удачи.

Tomas.P

Спасибо за ваши советы :)

Tomas.P

Potřeboval bych poradit ještě u jedné limity :( Tentokrát se jedná o limitu fce :

$\lim_{x\rightarrow0}(\frac{e^x+1}{x^2}\)=\infty$

Čitatel vychází po dosazení dva, jmenovatel 0, ale podle wolframalpha můžu ve jmenovateli udělat:
$(\lim_{x\rightarrow0} (x))^2$

Nakonec to má vyjít $\infty$ a nevím, jak na to wolfram přišel :( Prosím poraďte mi, jak bych to mohl vyřešit

jelena · 07. 04. 2010 18:59

↑ Tomas.P:

Zdravím,

v limitě vychází výraz "číslo"/"kladná nula", což ve výsledku limity dává +oo. Tak nevím, co se na tom nezdá, můžeš, prosím, upřesnit?

Seriózní výklad a яблоки.

Pomohlo?

Tomas.P · 08. 04. 2010 08:42

↑ jelena:

Привет

Kladná nula?

Pomohlo. Спасибо :)

jelena · 08. 04. 2010 10:20

милый друг Томас napsal(a):
Kladná nula?

Jak pojednává klasik v úvaze připravované pro časopis Rozhledy:

"Já se ptám na okolí nuly, ne na nulu samotnou…" (c)

A laskavě vysvětluje, o co mu jde.

Toto provedl i Wolfram ve výpočtu limity (pokud by v jmenovateli bylo pouze x, pak zleva máme „zápornou nulu“, zprava „kladnou nulu“ a prohlásíme, že limita neexistuje (mámе pouze jednostranné různé limity).

Пока.

Tomas.P

↑ jelena:

Můžete mi пожалуйста poradit i u limity složené fce:

$\lim_{x\rightarrow0}arccotg(\frac{x-1}{x^2}\)=0$

Můj postup:

i) $\lim_{x\rightarrow0}(\frac{x-1}{x^2}\)=\infty$

ii) $\lim_{y\rightarrow\infty}arccotg(y)=0$

iii) $arccotg(y)$ je spojitá v bodě $\infty$ : platí

iv) $(\frac{x-1}{x^2}\)$ se nerovná $0$ na jistém prstencovém okolí bodu 0 : platí

Chtěl bych poradit, jestli jsem postupoval správně, popř. opravit můj výpočet

jelena · 08. 04. 2010 16:24

Je lepší si založit nové téma pro nový dotaz - rychlej se dostane odpovědí od opravdových autorit.

Моя точка зрения: $\lim_{x\rightarrow0}$\frac{x-1}{x^2}$=-\infty$ , proto z vlastnosti funkce arccotg výsledek limity složené funkce bude jiný (a to $\pi$ ).

Autority mi to případně spravedlivě zkritizuji, спасибо :-)

Tomas.P · 09. 04. 2010 09:43

Спасибо

Měl jsem si všimnout toho mínus před 1 :(

Můžete mi пожалуйста poradit, jestli byly kroky iii) a iv) správně interpretované.
Samozřejmě po opravě výsledku

jelena · 09. 04. 2010 16:53

↑ Tomas.P:

Zdravím,

ohledně interpretace kroků iii), iv) to je tak:

výskyt slovního spojení

"na jistém prstencovém okolí bodu"

ve větě, kterou bych napsala, by působilo nejvýš komicky - neumím používat taková slova, nemám na to.

Proto poprosím někoho z kolegů, kdo by měl chvilku, napsat pro kolegu Tomase.P, co potřebuje (s ohledem na opravu výsledku limity).

Děkuji vám, kolegové.

lukaszh · 09. 04. 2010 18:26

↑ jelena:

Ale máš :-) A keď nechceš, tak aspoň preklad je kvalitný :-)

↑ Tomas.P:

Nikdy som sa nestretol so spojitosťou v bode $\infty$ . Ak to je zo seriózneho zdroja, poprosím o link na materiál, kde by som sa dozvedel viac. Funkcia arccotg podobne ako arctg je definovaná pre každé reálne číslo. Aby bola spojitá muselo by byť
$\lim_{x\to c}\rm{arccotg}(x)=\rm{arccotg}(c)$
pre c bod z definičného oboru.

Funkcia
$f(x)=\frac{x-1}{x^2}$
nadobúda nulovú hodnotu na nejakom okolí. Otázkou je, aké okolie zvoliť. Napríklad
$\mathcal{P}(0)=(-2,+2)$
Prvok x = 1 je z daného okolia a funkcia v ňom nadobúda nulovú hodnotu.

Tomas.P

↑ lukaszh:

Spojitost se určuje pro: $\lim_{x\rightarrow(c)}$ , kde $c\in_{}D(f)/[-\infty;+\infty]$ , proto iii) v mém případě neplatí.
Pochopil jsem to správně?

$P(0)$ musí být podle mě z intervalu, který má meze blížící se nule. Proto si myslím, že iv) platí.

lukaszh · 09. 04. 2010 19:28

↑ Tomas.P:

My si môžeme vziať hocaké okolie. Malé okolia berieme v úvahu pri skúmaní, ako sa funkcia správa "dostatočne blízko" bodu.

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2010 08:20 — Editoval Tomas.P (31. 03. 2010 08:37)

Limita poslopupnosti

#2 31. 03. 2010 08:40

Re: Limita poslopupnosti

#3 31. 03. 2010 08:51

Re: Limita poslopupnosti

#4 31. 03. 2010 11:56 — Editoval Tomas.P (31. 03. 2010 17:50)

Re: Limita poslopupnosti

#5 31. 03. 2010 12:26

Re: Limita poslopupnosti

#6 31. 03. 2010 12:52 — Editoval Tomas.P (31. 03. 2010 18:21)

Re: Limita poslopupnosti

#7 07. 04. 2010 17:35 — Editoval Tomas.P (07. 04. 2010 17:51)

Re: Limita poslopupnosti

#8 07. 04. 2010 18:59

Re: Limita poslopupnosti

#9 08. 04. 2010 08:42

Re: Limita poslopupnosti

#10 08. 04. 2010 10:20

Re: Limita poslopupnosti

милый друг Томас napsal(a):

#11 08. 04. 2010 12:52 — Editoval Tomas.P (08. 04. 2010 12:54)

Re: Limita poslopupnosti

#12 08. 04. 2010 16:24

Re: Limita poslopupnosti

#13 09. 04. 2010 09:43

Re: Limita poslopupnosti

#14 09. 04. 2010 16:53

Re: Limita poslopupnosti

#15 09. 04. 2010 18:26

Re: Limita poslopupnosti

#16 09. 04. 2010 19:12 — Editoval Tomas.P (09. 04. 2010 19:24)

Re: Limita poslopupnosti

#17 09. 04. 2010 19:28

Re: Limita poslopupnosti

Zápatí