Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 11. 08. 2021 20:07

sjaustirni
Příspěvky: 112
Škola: AAU
Pozice: student
Reputace:   
 

Matica na k-tu sa rovná nule

Využívajúc trik z predošlej témy (https://forum.matematika.cz/viewtopic.php?id=111364) sa snažím nájsť všeobecné riešenie pre problém:

Je pravda, že ak $A^k=0; k \in \mathbb{N}$, tak $(I+A)$ je invertibilné?

Tento problém som si najprv vyjadril v maticiach - ak je tvrdenie hore pravda, tak potom existuje X také, že:
$(I+A)X=I - A^k$

Manuálnym výpočtom som si pre n=1,2,3,4 overil, že $X=\sum_{n=0}^{k-1} A^{n}$, ale je to pravda pre všetky n? Ak áno, ako sa k tomu dostanem z prvej rovnice?

Ako si vôbec izolujem X, keď násobenie matíc nie je komutatívne a to X mi vždy nejako zostane medzi zvyšnými dvoma členmi a ich inverznými formami.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) sjaustirni)

#2 11. 08. 2021 23:35 — Editoval Brano (11. 08. 2021 23:41)

Brano
Příspěvky: 2612
Reputace:   227 
 

Re: Matica na k-tu sa rovná nule

jednoducho sa da overit, ze pre lubovolnu stvorcovu maticu $A$ plati
$(I+A)\underbrace{(I-A+A^2-...+(-A)^{k-1})}_{X}=X(I+A)=I-(-A)^{k}$
(to je presne ta ista uvaha ako scitanie geometrickeho radu)

a v pripade, ze $A^k=0$ potom je $X$ z definicie inverzna k $I+A$, takze odpoved na tvoju otazku je ano, len si daj pozor na znamienka

da sa to aj vseobecnejsie, konkretne mozes podobnym sposobom ukazat, ze $I+A$ ma inverznu maticu
$X=\sum_{n=0}^\infty(-A)^n$
len musis zabezpecit aby ten rad konvergoval; co plati napriklad ak $A^k=0$ pre nejake $k$; alebo ina podmienka moze byt $|A|<1$ (operatorova norma)

Offline

 

#3 12. 08. 2021 15:56

sjaustirni
Příspěvky: 112
Škola: AAU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Matica na k-tu sa rovná nule

Jj, pri prepise som zabudol na znamienko, myslel som samozrejme  $X=\sum_{n=0}^{k-1} (-A)^{n}$

A áno, inšprioval som na to z geometrického radu (dík H20 za tvoj post :D), ale vyjde mi to len ak sa tvárim, že členy sú skaláry. Nejako sa k tomu neviem dostať cez matice.

Konkrétne, prečo platí $(I+A)X = X(I+A)$? Násobenie matíc nie je komutatívne, takže predpokladám, že mi uniká nejaká vlastnosť tejto dvojice, či?

Offline

 

#4 12. 08. 2021 18:42

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Matica na k-tu sa rovná nule

Ahoj ↑ sjaustirni:,
Mala poznamka. 
No ako pises v tvojom predoslom prispevku, X je «polynom v A » (prvy riadok) tak v tomto pripade mas autonaticky komutativitu.   
( inac, take matice ako A sa volaju nilpotentne. Nieco analogicke najdes tu : https://forum.matematika.cz/viewtopic.php?id=108958 )


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 12. 08. 2021 19:33 — Editoval sjaustirni (12. 08. 2021 19:33)

sjaustirni
Příspěvky: 112
Škola: AAU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Matica na k-tu sa rovná nule

Nilpotentné matice som nepoznal a wiki stránka o nilpotentných maticiach dokonca rozoberá problém (I+A) z tejto témy.

Mnohokrát vďaka Braňo za opravu a nasmerovanie a vánok, za tvoj komentár.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson