Matematické Fórum

sjaustirni · 11. 08. 2021 20:07

Využívajúc trik z predošlej témy (https://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=111364) sa snažím nájsť všeobecné riešenie pre problém:

Je pravda, že ak $A^k=0; k \in \mathbb{N}$ , tak $(I+A)$ je invertibilné?

Tento problém som si najprv vyjadril v maticiach - ak je tvrdenie hore pravda, tak potom existuje X také, že:
$(I+A)X=I - A^k$

Manuálnym výpočtom som si pre n=1,2,3,4 overil, že $X=\sum_{n=0}^{k-1} A^{n}$ , ale je to pravda pre všetky n? Ak áno, ako sa k tomu dostanem z prvej rovnice?

Ako si vôbec izolujem X, keď násobenie matíc nie je komutatívne a to X mi vždy nejako zostane medzi zvyšnými dvoma členmi a ich inverznými formami.

Brano · 11. 08. 2021 23:35 — Editoval Brano (11. 08. 2021 23:41)

jednoducho sa da overit, ze pre lubovolnu stvorcovu maticu $A$ plati
$(I+A)\underbrace{(I-A+A^2-...+(-A)^{k-1})}_{X}=X(I+A)=I-(-A)^{k}$
(to je presne ta ista uvaha ako scitanie geometrickeho radu)

a v pripade, ze $A^k=0$ potom je $X$ z definicie inverzna k $I+A$ , takze odpoved na tvoju otazku je ano, len si daj pozor na znamienka

da sa to aj vseobecnejsie, konkretne mozes podobnym sposobom ukazat, ze $I+A$ ma inverznu maticu
$X=\sum_{n=0}^\infty(-A)^n$
len musis zabezpecit aby ten rad konvergoval; co plati napriklad ak $A^k=0$ pre nejake $k$ ; alebo ina podmienka moze byt $|A|<1$ (operatorova norma)

sjaustirni · 12. 08. 2021 15:56

Jj, pri prepise som zabudol na znamienko, myslel som samozrejme $X=\sum_{n=0}^{k-1} (-A)^{n}$

A áno, inšprioval som na to z geometrického radu (dík H20 za tvoj post :D), ale vyjde mi to len ak sa tvárim, že členy sú skaláry. Nejako sa k tomu neviem dostať cez matice.

Konkrétne, prečo platí $(I+A)X = X(I+A)$ ? Násobenie matíc nie je komutatívne, takže predpokladám, že mi uniká nejaká vlastnosť tejto dvojice, či?

vanok · 12. 08. 2021 18:42

Ahoj ↑ sjaustirni:,
Mala poznamka.
No ako pises v tvojom predoslom prispevku, X je «polynom v A » (prvy riadok) tak v tomto pripade mas autonaticky komutativitu.
( inac, take matice ako A sa volaju nilpotentne. Nieco analogicke najdes tu : https://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=108958 )

sjaustirni

Nilpotentné matice som nepoznal a wiki stránka o nilpotentných maticiach dokonca rozoberá problém (I+A) z tejto témy.

Mnohokrát vďaka Braňo za opravu a nasmerovanie a vánok, za tvoj komentár.

Matematické Fórum

#1 11. 08. 2021 20:07

Matica na k-tu sa rovná nule

#2 11. 08. 2021 23:35 — Editoval Brano (11. 08. 2021 23:41)

Re: Matica na k-tu sa rovná nule

#3 12. 08. 2021 15:56

Re: Matica na k-tu sa rovná nule

#4 12. 08. 2021 18:42

Re: Matica na k-tu sa rovná nule

#5 12. 08. 2021 19:33 — Editoval sjaustirni (12. 08. 2021 19:33)

Re: Matica na k-tu sa rovná nule

Zápatí