Matematické Fórum

ShadyDrob_cz

Prosím o radu jak jít na výpočet této limity:

Poznámka: někdo mi poradil ať použiji L'Hospitalovo pravidlo, bohužel to nejspíš nemužu použít zvhledem k tomu, že ve škole jsme ještě něbrali derivace a pravidlo samotné
Díky

vanok · 27. 10. 2011 13:53 — Editoval vanok (27. 10. 2011 13:54)

↑ ShadyDrob_cz:
Tu moze pomoct $\frac{e^{\cos x} - e}{x}\frac{x}{\tan(x)}$
Srdecne Vanok

ShadyDrob_cz

Přepokládám, že zde by asi bylo nejlepší ten prvni zlomek dostat do tvaru , bohužel nějak nevidim co s tim dál :/

halogan

1) Vytkni e v čitateli. A to pak vytkni úplně ven.

2) Jmenovatele "transformuj" na $x$ pomocí návodu od ↑ vanok:. (Ono to není zas tak moc nutné, ale pomůže to trochu. I když... ono to ve finále bude možná i složitější, jak tak nad tim přemýšlim. Možná má kolega nějaký jiný plán, já bych tam ten tangens nechal, bude se hodit.)

3) Rozšiř výrazem v exponentu eulerova čísla v čitateli.

Jeden zlomek ti vypadne, ten druhý rychle dopočítáš.

vanok · 31. 10. 2011 19:09 — Editoval vanok (31. 10. 2011 19:13)

↑ ShadyDrob_cz:↑ halogan:
Ano to je dobra pomoc z tym e
Co sa tyka tangentu moze sa to napriklad upravit takto:

(ak nevies co sa deje z $\frac{\tan(x)}{x}$ v okoli nuly )

$\frac{x}{\tan(x)}=\frac{x}{$\frac{\sin x}{\cos x}$} = \frac x{\sin x} *\cos x$

Staci ti to?

Srdecne Vanok

halogan · 31. 10. 2011 19:14

↑ vanok:

Já vím moc dobře, co se děje s tanx/x v okolí nuly :-) Jen nevidím důvod vkládat do původní limity $x$ , když stejně budeme potřebovat jen $\cos x - 1$ , které se nám po rozšíření zkrátí právě s částí té tangenty.

Kdybychom tu tangentu vyhodili ven přes tvůj návrh, tak musíme využít další limity (např. sinx/x) a aritmetiky a tak dál. To mi přijde jako moc práce navíc.

vanok · 31. 10. 2011 19:44

↑ halogan:
ano mas pravdu....

ShadyDrob_cz

Je možné že to vyšlo -e?

vanok · 31. 10. 2011 22:01

↑ ShadyDrob_cz:
Mne vysla 0. A pouzil som metodu equivalentov. Ak chces dam ti rychly postup, ale sa zda ze tato metoda sa neuci ani v Cz a ani na Sk.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

halogan · 31. 10. 2011 22:21

Nulu potvrzuji a dodávám pomocný postup

1) Vytknout e v čitateli.

2) Rozšířit zlomkem, kde čitatel i jmenovatel je $\cos x - 1$ .

3) Přes aritmetiku rozdělit na dvě limity a jednu přes limitu složené funkce dopočítat (vede to na to [e^x -1]/x).

4) Vytknout -1 z $\cos x - 1$ , rozšířit $1 + \cos x$ , a nahoře dostaneš $-\sin^2x$

5) Dolní 1 + sin x můžeš přes aritmetiku vyhodit, bude to jednička.

6) Zkrátit jeden ze sínů nahoře se sínem z tangenty

... a už jsme skoro tam.

vanok · 31. 10. 2011 22:51 — Editoval vanok (31. 10. 2011 22:52)

Metode equivalentov v 0 je rychla, ak sa poznaju zakladne equivalencie a ich vlasnosti.
Mame
$\cos x -1 \sim_0 -\frac {x^2}2$
$e^x \sim_0 1+x$
co da
$e^{\cos x -1} \sim_0 1-\frac {x^2}2$
$\tan x \sim_0 x$

Co nam da
$\frac{e^{\cos x} - e}{\tan x}= e*\frac {e^{\cos x -1}-1}{\tan x}\sim_0 e* \frac{1-\frac {x^2}2 -1}x \sim_0 - \frac {ex}2$

Akoze
$\lim_{x\to 0}\ - \frac {ex}2= 0$
tak aj
$\lim_{x\to 0}\frac{e^{\cos x} - e}{\tan(x)}=0$

Srdecne Vanok

ShadyDrob_cz · 31. 10. 2011 23:12

Aha, perfektní, zkusim toto jeste prozkoumat. Mnohokrát díky za pomoc.

vanok · 01. 11. 2011 13:04

↑ ShadyDrob_cz:
Dobre, ale akoze ste sa neucili "moju" metodu musis vediet dokazat vsetko co pouzijes.

Ale aj dokaz od kolegu mozes pouzit( dat strucne vysvetlenia iba)", lebo vyuziva len co ste sa ucili... a goniometricke funkcie to je asi "krasa" elementarnej matematiky.

Matematické Fórum

#1 27. 10. 2011 13:25 — Editoval ShadyDrob_cz (27. 10. 2011 13:29)

Limita s gon. funkcí - 1

#2 27. 10. 2011 13:53 — Editoval vanok (27. 10. 2011 13:54)

Re: Limita s gon. funkcí - 1

#3 31. 10. 2011 18:25 — Editoval ShadyDrob_cz (31. 10. 2011 18:25)

Re: Limita s gon. funkcí - 1

#4 31. 10. 2011 18:27 — Editoval halogan (31. 10. 2011 18:32)

Re: Limita s gon. funkcí - 1

#5 31. 10. 2011 19:09 — Editoval vanok (31. 10. 2011 19:13)

Re: Limita s gon. funkcí - 1

#6 31. 10. 2011 19:14

Re: Limita s gon. funkcí - 1

#7 31. 10. 2011 19:44

Re: Limita s gon. funkcí - 1

#8 31. 10. 2011 21:33 — Editoval ShadyDrob_cz (31. 10. 2011 21:39)

Re: Limita s gon. funkcí - 1

#9 31. 10. 2011 22:01

Re: Limita s gon. funkcí - 1

#10 31. 10. 2011 22:21

Re: Limita s gon. funkcí - 1

#11 31. 10. 2011 22:51 — Editoval vanok (31. 10. 2011 22:52)

Re: Limita s gon. funkcí - 1

#12 31. 10. 2011 23:12

Re: Limita s gon. funkcí - 1

#13 01. 11. 2011 13:04

Re: Limita s gon. funkcí - 1

Zápatí