Matematické Fórum

Na wikipedii se píše, že to je těžké :-)

↑ Andrejka3:snad nebude tak zle :-)

V originálním článku

je uváděn Theorem 2., který říká, že: Každou univerzální algebru lze rozložit v subdirektní součet subdirektně nerozložitelných algeber z téže primitivní třídy, do níž patří algebra .

Distributivní svazy tvoří primitivní třídu univerzálních algeber (varietu algeber), proto: Každý distributivní svaz je subdirektním součtem subdirektně nerozložitelných distributivních svazů.

Subdirektně ireducibilní distributivní svaz je svaz skládající se z nuly a jednotky svazu. Distributivnost svazu je zřejmá, protože byl by-li svaz subdirektně ireducibilní, musel by být podsvazem úplného  direktního součtu svazů , přičemž by existovaly homomorfismy , jež by nebyly izomorfismy. Avšak potom by každý svaz musel obsahovat pouze jediný prvek, a tedy i úplný direktní součet by byl jednoprvkový svaz a nemohl by existovat svaz .

Je každý subdirektně ireducibilní distributivní svaz, který obsahuje alespoň dva prvky, je izomorfní se svazem (?)


Vezměme subdirektně ireducibilní distributivní svaz obsahující alespoň dva různé prvky. Skládá-li se právě ze dvou prvků, je zřejmě izomorfní s (z předchozího odstavce). Obsahuje-li alespoň 3 prvky, je možno nalézt prvek různý od nuly i jednotky svazu , pokud tyto prvky v vůbec existují (!). Označme ještě podsvaz všech prvků , pro něž platí a podsvaz všech takových, že . Z předpokladů o svazu a prvku plyne, že každý z podsvazů , obsahuje mimo ještě alespoň jeden prvek.
Označme direktní součet svazu a v následujícím smyslu (který explicitně napíšu, protože obsahuje princip užitý v závěru důkazu):
Nechť je dána libovolná množina univerzálních algeber s touž množinou operací , jež všechny patří do téže variety algeber index nechť probíhá množinu , jež může být konečná i nekonečná.
Nechť  je množina, jejíž prvky jsou všechny soustavy prvků patřících po jednom do každé z algeber , tj. . Prvek se nazývá i-tá komponenta (komponenta v algebře ) prvku . Z množiny utvoříme univerzální algebru s množinou operací tak, že  operace z definujeme po komponentách: je-li dána n-ární operace a n-tice prvků z
,
položíme
.
Tak jsou splněny všechny identity z . Konečně, algebra se nazývá direktním součtem algeber a značí se:
(v odkazech, které jsem uvedl)

Vraťme se k původnímu důkazu, tedy nechť značí direktní součet svazů a , tj. prvky součtu jsou dvojice a operace s nimi se provádějí po komponentách (jak jsem uvedl výše). Přiřaďme každému prvku v distributivním svazu dvojici . Toto zobrazení do je injektivní, protože v distributivním svazu pro libovolné dva prvky takové, že
plyne .

Toto zobrazení je dokonce bijektivní resp. izomorfismus, protože:



.

Je tedy možno považovat za podsvaz svazu . Protože prvku odpovídá dvojice a prvku dvojice , zobrazují homomorfismy, přiřazující každému prvku z jeho první, resp. druhou složku, svaz na celé , resp. na celé a přitom nejsou nejsou izomorfismy. To znamená, že je subdirektně rozložitelný svaz, což je spor s původním tvrzením (s otazníkem :-) ).

Odtud pak uvažme libovolný distributivní svaz ; to znamená, že je subdirektním součtem svazů , kde každý svaz se skládá právě ze dvou prvků, ze své nuly a jednotky . Symbolem označme množinu všech jednotek a přiřaďme každému prvku podmnožinu všech těch jednotek , jež se vyskytují jakožto i-té komponenty prvku , chápaného jako prvek úplného direktního sousčtu svazů . Je jasné, že pro budou i jim odpovídající podmnožiny různé. z toho, že operace v úplném direktním součtu svazů , se definujípo komponentách (jak jsem uvedl!), a z vlastnosti jednotky a nuly svazu ihned plyne, že prvků z odpovídá sjednocení příslušných podmnožin a průseku průnik . Tím je úloha vyřešena.

Řešení lze zkrátit pomocí termínů Booleových svazů.

Booleův svaz (Booleova algebra) je svaz s nulou a jednotkou, když pro každý prvek existuje komplement , pro nějž platí a a .
Tato "komplementace" je jednoznačná.
Svaz všech podmnožin libovolné množiny je Booleovým svazem, neboť ke každé podmnožině existuje množinový komplement . Množinový svaz, který obsahuje s libovolným svým prvekm i jeho doplněk je Booleův množinový svaz.
Odpovídá-li prvku podmnožina , je jeho komplementu přiřazen množinový komplement podmnožiny v . To však ihned plyne z toho, že vyjádření prvků a v úplném direktním součtu svazů jsou taková, že má-li jeden z nich i-tou komponentu rovnou , je u druhého rovna a naopak.

↑ Olin:
Takovým věcem bych rád někdy rozuměl...

Poznámku: pěkně je téma zpracováno v Kurošových "Kapitolách z obecné algebry", je tam spoustu dalších zajímavých témat.

s pozdravem Honza

Nerozumím některým pojmům.
Takhle si to představuji...
Direktní součet (univerzálních) algeber:

Projekce na direktním součinu:

Definice subdirektního součtu pracuje s pojmem inkluze.
Subdirektní součet:

Myslí se tady inkluzí libovolný prostý homomorfismus ? Nebo to je jen toto zobrazení: ? Je-li vlastní podalgebrou , existuje vždy takové, že je vlastní podalgebrou ? Je každý direktní součet též subdirektním?
Mám v tom zmatek a představit si dubdirektní součet mi dělá problém. Děkuji za každou radu.

Osobní pozn.:

Edit: Téma je sice vyřešené, ale já to pořád nechápu, přes snahu kolegů. Dovolím si to označit za nevyřešené, protože vyřešenost tématu se má vztahovat k tomu, jestli zadavatel chápe řešení, ne?