Matematické Fórum

Terinka01 · 01. 10. 2015 19:40

Dobrý den, potřbuji pomoc se slovním příkladem.
Je mi asi jasné, že vyjdu ze vzorce $\pi r^{2}(v_{1}+v_{2})/2$ , ale nějak mi to nevychází.
Má to vyjít 56,52. Moc děkuji

Z sklenice tvaru válce se po naklonění částečne vylila voda a to tak, že na dně sklenice dosahuje hladina vody přesne do poloviny základny tzn. tvoří její průměr. Výška sklenice h=9 cm a průměr sklenice je 8 cm. Kolik vody zůstalo ve sklenici?

jelena · 01. 10. 2015 21:14

Zdravím,

zadání je neúplně (nebo tomu chybí obrázek - musí být jasné, že na výšku voda dosahuje okraje sklenice + sklenice je i nadále nakloněna - jinak nebude polovina dna). Pokud obrázek vypadá tak, jak jsem popsala, potom pomysleně nejdřív stojící válec rozříznu svisle na polovinu tak, aby měl půlkruh v podstavě, potom ho ještě přeříznu šikmo, aby odpovídal naklonění. Z toho bys už měla odvodit vzorec pro výpočet (ale ještě překontroluj, prosím, zadání, zda je skutečně tak, jak jsem popsala). Děkuji.

Al1 · 01. 10. 2015 21:23

↑ jelena:

Zdravím,

text úlohy nalezneme zde i s nabízeným výpočtem.

Terinka01 · 01. 10. 2015 21:30

↑ Al1:
Já vím, ale nechápu proč je tam 8/4 dosazené za poloměr.

jelena · 01. 10. 2015 21:35

↑ Al1:

Zdravím, to je aktivita kolegy petrik_ch (ke které, přes veškerý rozsah práce, jsem dost skeptická) :-) Ale ani u kolegy není jasné, v jakém stavu naklonění sklenice počítáme, tedy můžeme domýšlet tak, jak jsem provedla - po pokusu na cylindrickém hrnku.

jelena · 01. 10. 2015 21:39

↑ Terinka01:

já bych to nedosazovala za poloměr (nejasných 8/4), ale (k domyšlenému stavu, ve kterém se sklenice nachází) počítala bych objem pomocí toho postupného řezání - tomu rozumíš, jak jsem popsala?

Terinka01 · 01. 10. 2015 21:41

↑ jelena:

Technicky tomu rozumím, vypočítám polovinu objemu válce, pak oříznu, ale to už nevím jak vypočítám.

jelena · 01. 10. 2015 22:33

↑ Terinka01: prakticky si představ tak, že nejdřív jsi z plné sklenice vylila polovinu vody, aby to vešlo do tělesa nad půlkruhem. Teď toto těleso opět rozřízneš na poloviny - šikmou rovinou procházející přímkou poloměru a bodem úplně na okraji sklenice.

Ve výpočtu používáš objem válce, který podělíš 2 a potom ještě 2 (tedy nemusíš řešit žádné rozměry, používáš jen původní).

Ale ještě jednou připomínám, že jsme úlohu trochu domyslili - odkud je zadání? Děkuji.

Honzc · 02. 10. 2015 06:38 — Editoval Honzc (18. 01. 2016 13:34)

↑ Terinka01:
Vzorec pro tento případ je docela jednoduchý.
$V=\frac{1}{6}d^{2}v$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Terinka01 · 02. 10. 2015 06:41

↑ Honzc:
Nebude t 1/8??

Terinka01 · 02. 10. 2015 06:46

↑ jelena:
prvním rozříznutím dostanu polovinu válce, ale druhým rozříznutím polovinu přece nedostanu!?

Honzc · 02. 10. 2015 08:14

↑ Terinka01:
Ne bude to 1/6.

jelena · 02. 10. 2015 09:43

Zdravím,

↑ Honzc: takto si vzorec neumím představit (alespoň - proč ve vzorci není $\pi$ ?).

↑ Terinka01: nejspíš máš pravdu - rovina, kterou navrhuji řezat, "Teď toto těleso opět rozřízneš na poloviny - šikmou rovinou procházející přímkou poloměru a bodem úplně na okraji sklenice." není rovina symetrie (byla by jen pro celý válec, ale my už máme polovinu válce.). Zde mám chybu v úvaze.

My se tedy domluvíme, že řešíme úlohu: Sklenice tvaru válce byla nakloněna tak, že se částečně vylila voda a zbytek vody ve sklenici: na dně sklenice dosahuje hladina vody přesně do poloviny základny tzn. tvoří její průměr. Výška sklenice h=9 cm a průměr sklenice je 8 cm. Kolik vody zůstalo ve sklenici?

Jelikož, co řeší kolega petrik_ch na hackmath teď po podrobnějším přečtení už nevím vůbec: Odkaz.

mák · 02. 10. 2015 17:32

Zdravím,
já bych to počítal takto:

Code:

integrate(2*integrate(sqrt(r^2-x^2),x,y,r),y,0,r)*v/r;

a vyjde:
$V\,=\,{{2\,r^2\,v}\over{3}}$

což odpovídá příspěvku #9:

Honzc napsal(a):
↑ Terinka01:
Vzorec pro tento případ je docela jednoduchý.
$V=\frac{1}{6}d^{2}v$

jelena · 02. 10. 2015 18:37

↑ Honzc:, ↑ mák:

děkuji, potěšilo :-) Já jsem se přemlouvala, že až dojdu domu, tak to budu muset ověřit integrálem (akorát jsem použila převod do cylindrických souřadnic) a opravdu to tak je, že ve výsledku $\pi$ není (a pro jistotu jsem ověřila, že "ve zbytku sklenice" se $\pi$ objeví). A mohu teď klidně přepínat pračky.

Zbývá ujasnit, jaké sklenice počítal zdroj úlohy. Zdravím.

Eratosthenes · 02. 10. 2015 22:10

↑ Honzc:ahoj ↑ jelena:,

o obrázek, který ti chybí zde ↑ jelena:, jsem se pokusil:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-10/15117_valec.png

výpočet, který nabízíš zde ↑ jelena:, v pořádku není - objem vody není čtvrtina válce (už proto, že by ti tam zůstalo "viset" pí, což jsi sama posléze zavrhla :-)

Zdroj úlohy počítal zřejmě sklenice alkoholu, které předtím vypil (jiné vysvětlení mě nenapadá). Použít cylindrické souřadnice samozřejmě lze, ale po středoškolákovi to asi chtít nemůžeme. Ale Integrál jednoduchý možná ano:

Budeme integrovat přes interval <-r;r> na ose x, funkce bude vyjadřovat obsah žlutých pravoúhlých trojúhelníků:

Pro úhel, který svírá hladina se dnem máme z toho největšího

$tg\alpha = \frac v r$

a protože jsou všechny podobné, mají strany

$y=\sqrt{r^2-x^2}$
$v_x=y tg\alpha=\frac v r\cdot \sqrt{r^2-x^2}$

takže obsah trojúhelníka je

$f(x)=\frac 1 2\cdot y\cdot v_x=\frac v {2r}\cdot $r^2-x^2 $$

tedy

$V=\frac v {2r}\int_{-r}^r $r^2-x^2 $ dx =\frac 2 3\cdot r^2v$

Přiznám se, že netuším, jak na tento výsledek přišel kolega ↑ Honzc:, že ho jen tak střelil od boku - existuje nějaký jednoduší způsob? Mě tedy nenapadá...

jelena · 03. 10. 2015 00:35

↑ Eratosthenes:

děkuji, mně obrázek nechybí (já mám cylindrický hrnek), chybí autorovi úlohy :-) Já to už v předchozích příspěvcích povídám, že moje úvaha s důsledkem dělení šikmou rovinou byla špatná, také jsem byla nejdřív zaskočena výsledkem od kolegy ↑ Honzc:, ale potom jsem spočetla trojným integrálem (to nebudu psát, on je jednoduchý, jak víte) a skutečně je to tak, ve výsledku se shodujeme.

Kolega Honzc snad upřesní, možná to bude také ve strojírenských tabulkách. No v každém případě budete souhlasit, že zdroj úlohy je hodně nepodařený.

Zdravím a děkuji.

Honzc · 04. 10. 2015 09:47

↑ jelena:
Zdravím,
ve strojnických tabulkách jsem nepátral, (i když pochybuji, že vzoreček v nich bude) spočítal jsem to integrálem obdobně jako ↑ Eratosthenes: a jelikož jsem byl také překapen, tak jsem to ověřil namodelováním v SolidWorksu.
A protože jsem v pátek už neměl čas, tak jsem sem dal jenom výsledek.

jelena · 04. 10. 2015 22:19

↑ Honzc:

Zdravím a děkuji (v tabulkách jsem také nepátrala, musela bych vytáhnout 1. řádu knih a to vleče za sebou touhu utírat prach v méně dostupných místech atd.)

a jelikož jsem byl také překapen, tak jsem to ověřil namodelováním v SolidWorksu.

také děkuji, alespoň, že nejsem sama překvapená :-) Asi už v tomto tématu více nepokročíme, můžeme považovat za vyřešené a navzájem si poděkujeme (utírat prach u autora úlohy, to už bylo moc, ta sbírka úloh neprochází snad žádnou kontrolou, tedy v tom může být všechno možné, bohužel. I když vidím, že zrovna k této úloze komentáře jsou).

Terinka01 · 05. 10. 2015 07:10

↑ jelena:
Mockrát všem děkuji za ochotu pomoci. A že to v dnešní době není samozřejmé:)

Matematické Fórum

#1 01. 10. 2015 19:40

Objem seříznutého válce

#2 01. 10. 2015 21:14

Re: Objem seříznutého válce

#3 01. 10. 2015 21:23

Re: Objem seříznutého válce

#4 01. 10. 2015 21:30

Re: Objem seříznutého válce

#5 01. 10. 2015 21:35

Re: Objem seříznutého válce

#6 01. 10. 2015 21:39

Re: Objem seříznutého válce

#7 01. 10. 2015 21:41

Re: Objem seříznutého válce

#8 01. 10. 2015 22:33

Re: Objem seříznutého válce

#9 02. 10. 2015 06:38 — Editoval Honzc (18. 01. 2016 13:34)

Re: Objem seříznutého válce

#10 02. 10. 2015 06:41

Re: Objem seříznutého válce

#11 02. 10. 2015 06:46

Re: Objem seříznutého válce

#12 02. 10. 2015 08:14

Re: Objem seříznutého válce

#13 02. 10. 2015 09:43

Re: Objem seříznutého válce

#14 02. 10. 2015 17:32

Re: Objem seříznutého válce

Code:

Honzc napsal(a):

#15 02. 10. 2015 18:37

Re: Objem seříznutého válce

#16 02. 10. 2015 22:10

Re: Objem seříznutého válce

#17 03. 10. 2015 00:35

Re: Objem seříznutého válce

#18 04. 10. 2015 09:47

Re: Objem seříznutého válce

#19 04. 10. 2015 22:19

Re: Objem seříznutého válce

#20 05. 10. 2015 07:10

Re: Objem seříznutého válce

Zápatí