Matematické Fórum

↑ Newtoo:
Pokud pracujeme s neúplnými čísly, dochází k hromadění chyb.
Nechť jsme veličinu x změřili s jistou chybou x+-delta x
y=f(x)
Platí obecný vzorec: delta y = abs(f'(x))*delta x
Relativní chyba je pak: (delta y)/y

Nejsem si jist správností postupu uvedeného výše.

viz též můj web: www.tucekweb.info (derivace funkce)

Pro absolutní chybu objemu válce platí: dV=pi*2*r*dr*h + pi*r^2*dh
Pro relativní chybu objemu válce platí: dV/V = 2*(dr/r) + (dh/h) (asi je ten postup správný)

↑ Newtoo:

Ahoj,

určitě ne. Jestliže změříš rozměry tělesa ma setiny jednotek, dejme tomu decimetrů, absolutní chyba objemu bude určitě větší než setina litru.

↑ Eratosthenes:

Potřeboval bych právě spočítat tu relativní chybu. O objem mi vůbec nejde

Já jsem zase zastáncem parciální derivace používat, protože aspoň hned vidíme, v čem je problém.

Takže když máme mezi dvěma veličinami vztah [mathjax]z = f(x,y)[/mathjax], tak vztah pro úplný diferenciál je

[mathjax]\Delta z = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \Delta y[/mathjax]

Takže u absolutních chyb je to celkem zřejmé, jak se má postupovat. Pro relativní chyby je otázka, jestli lze vůbec napsat nějaký obecný vztah. Já bych řekl, že snad ani né.


Pokud budeme mít nějakou jednoduchou funkci, jako třeba [mathjax]z = x\cdot y[/mathjax], můžeme to zkusit určit.

Parciální derivace budou: [mathjax]z_x = y[/mathjax], [mathjax]z_y = x[/mathjax]

takže pro celkovou chybu dostaneme (úplný diferenciál)

[mathjax]\Delta z = y \cdot \Delta x + x \cdot \Delta y[/mathjax]

a když to podělíme z = x.y, dostaneme [mathjax]\frac{\Delta z}{z} = \frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y}[/mathjax], což je myslím očekávané a všeobecně známé.

Eratosthenes napsal(a):

↑ Newtoo:
určitě ne. Jestliže změříš rozměry tělesa ma setiny jednotek, dejme tomu decimetrů, absolutní chyba objemu bude určitě větší než setina litru.

No, ty intuitivní představy mohou být někdy dost zavádějící.

Když budeme mít krychli o straně 1dm (s přesností 0.01dm) tak objem bude V = x^3, tedy 1dm^3, s přesností ... no, nebude to 0.01, ale 0.03. Což je ale pořád zhruba to samé.

Protože

[mathjax]\large (x+\Delta x)^3 = x^3 + 3x^2 \Delta x + 3x \Delta x^2 + \Delta x^3 \doteq x^3 + 3x^2 \Delta x[/mathjax]

V jednoduchých případech to jde i bez těch parciálních derivací, a aspoň vidíme, co vlastně děláme, že jsem členy obsahující vyšší mocniny Dx zanedbali. To bude samozřejmě fungovat jen když je Dx malé ve srovnání s x. Pro relativní chybu 30% a víc už tyhle vztahy pro relativní chyby tak úplně neplatí. Je to prostě přiblížení prvního řádu (linearizované).

MichalAld napsal(a):

No, ty intuitivní představy mohou být někdy dost zavádějící.

Když budeme mít krychli o straně 1dm (s přesností 0.01dm) tak objem bude V = x^3, tedy 1dm^3, s přesností ... no, nebude to 0.01, ale 0.03. Což je ale pořád zhruba to samé.

Nevím, kam představy zavádějí tebe, ale ta moje intuitivní není.

On nemá krychli o straně 1dm, ale válec  o úplně jiných rozměrech. A jestli je pro tebe třikrát větší chyba "skoro to samé", tak pro mě tedy ne. U toho válce ta chyba vzroste skoro čtyřikrát a pokud bychom škrtli výšku a byla to koule, tak relativní chyba objemu je skoro 13 procent. A to už "skoro to samé" určitě není.


>> Což mi připomíná příklad, když natáhneme drát kolem země (kolem rovníku)

To ti připománá trochu něco jiného, protože délka kružnice je pouhý násobek poloměru, takže tam stačí právě jenom ten násobek, protože přímka je všude stejně rovná. Kdybys měl spočítat, o kolik se liší objemy těch koulí, tam poloměr určitě potřebuješ. Derivace kubocké paraboly v bodě blízko nuly vypadá nějak a  blízko stovky je to něco úplně jiného...

MichalAld napsal(a):

Jak jsi přišel na těch 13%?

To jsem vysvětlil už tady.

↑ Eratosthenes:

MichalAld napsal(a):

Na rozměrech  vůbec nezáleží.

Aha, tak proto je průměr, čtyřikrát menší než výška, změřený se čtyřikrát větší relativní chybou! A proto se průměr Země dá změřit se stejnou absolutní chybou jako ten váleček  - na setinu milimetru! Jen se divím, že už to dávno někdo neudělal.   

Rád pomůžu každému, kdo to potřebuje. Ale abych se tady hrdě a zbytečně dohadoval s někým, kdo si o pomoc neřekl a komu pomoci zřejmě není, na to je můj čas fakt trochu drahý...

↑ MichalAld:

Mylně jsem se domíval, že po mém minulém závěru pochopíš, že už se o tom nechci bavit. Mýlil jsem se - nepochopils. Takže ještě jednou a opravdu už naposled.

Trochu to shrnu:

04. 11. 2024 11:18 založí Newtoo téma na výpočet chyby při výpočtu objemu válce z rozměrů změřených s abs. chybou 0,01. Napsal svůj výpočet s tím, že abs. chyba objemu mu vychází 1,7%

04. 11. 2024 14:09 - 14.16 jsem mu napsal, že výpočet je špatně a že abs. chyba objemu bude určitě větší. Naznačil jm mu správný postup, na který zcela stačí učivo ZŠ.

05. 11. 2024 14:54 Píšeš, že počítat absolutní chybu je lepší parciálními derivacemi a že relativní chyba nejspíš spočítat ani nepůjde. Za pár minut k tomu dodáváš, že Newtoo to má nejspíš správně a za další okamžik to "dokazuješ" výpočtem pro krychli, kde ti chyba vychází třikrát větší, což je ale prý skoro totéž.

05. 11. 2024 19:19 odpovídám, že krychle není válec, u kterého jsem odhadl chybu větší skoro čtyřikrát a pokud bychom měřili kouli o stejném průměru jako válec, tak relativní chyba objemu může být i 13%.

05. 11. 2024 22:54 nevíš, jak jsem přišel na 13%, znovu operuješ válcem, u kterého to vyjde 4.5%, což je prý úplně stejné jako 3% u krychle, protože na rozměrech vůbec nezáleži. Tak to už máme stejná čísla tři -  1%, 3% a 4,5%. A znovu se ptáš, jak jsem přišel na 13%.

06.11. 2024 14.28 odkazuji na svůj náznak zcela primitivního řešení ze 04. 11. 2024 14:09 - 14.16
 
06.11 2024 18.00 přistoupils na primitivní ZŠ postup a spočítals relativní chybu pro zadaný válec. Den předtím nevěděls ani to, že to půjde vůbec nějak spočítat. Teď píšeš, že se ví dokonce i to, že to vyjde trochu víc než přes diferenciál,

Samozřejmě, že se to ví. A měl by to vědět každý student prvního ročníku VŠ. On totiž ten "diferenciální" vzorec je méně přesný než ten záklaďácký zlomek. Jednoduše proto, že bere jenom diferenciál objemu místo toho, aby vzal celou Taylorovu řadu. A výhodný je jenom u složitých vzorců, kde je výpočet totálního diferenciálu rychlejší než výpočet mezí toho vzorce.

A potřetí se u výpočtu pro válec ptáš, kde jsem vzal těch 13%. Takže buď nerozumíš psanému textu, anebo trpíš tunelovým viděním - vidíš provokativních 13% a text okolo toho vůbec nevnímáš. Psal jsem to jako reakci na tvůj omyl, že chyba nezávisí ani na tvaru (místo válce brals krychli), ani na velikosti (viz tvoje zeměkoule omotaná drátem). 

Psal jsem: když místo válce vezmeš kouli stejného průměru, jako ten válec... Pokud tomu nerozumíš, myslím tím toto:



Takže pokud spočítáme relativní chybu objemu koule, která má změřený průměr se stejnou absolutní chybou jako ten válec, je to místo 4,5% cca 6,5%. Pokud se stejnou absolutní chybou změříme té kouli místo průměru poloměr, dostáváme (abych to tedy spočítal, když o to tak stojíš)

[mathjax]V_{max}={4 \over 3}\pi\cdot r_{max}^3={4 \over 3}\pi\cdot 0,26^3 \approx 0,0736; V_{min}={4 \over 3}\pi\cdot r_{min}^3={4 \over 3}\pi\cdot 0,24^3 \approx 0,0579[/mathjax]

[mathjax]RE={V_{max}-V_{min} \over V_{max}+V_{min}}\cdot 100 = { 0,0736-0,0579 \over  0,0736+0,0579}\cdot 100\approx 13 [/mathjax]

Jestliže tedy relativní chyba nezávisí ani na tvaru, ani na velikosti tělesa, pak jsou chyby 1%, 3%, 4,5%, 6,5% a 13% úplně stejné. Zajímavé - jako matematik musím konstatovat, že tato implikace je pravdivá. Takže máš vlastně pravdu.

A tímto své příspěvky k tomuto tématu definitivně uzavírám a nezbývá mi než doufat, že to konečně pochopíš.

Konec. Finito. Howgh.

Zkusil jsem to teda spočítat přesně. Dle vztahu pro válec, [mathjax]V = \frac{\pi}{4}d^2h[/mathjax]

vyšlo mi následující:

d=0.51  h=2.01  => V = 0.410
d=0.50  h=2.00  => V = 0.392
d=0.49  h=1.99  => V = 0.375

A dle tvého vztahu

[mathjax]RE={V_{max}-V_{min} \over V_{max}+V_{min}}\cdot 100 = { 0,410-0,375 \over  0,410+0,375}\cdot 100\approx 4.5 \%[/mathjax]

Vychází to dokonce méně než při použití linearizovaného vztahu.

Absolutní chyba je (Vmax - Vmin) / 2 = 0.0176.

Pořád nechápu, jak jsi přišel na to, že autor dotazu dělá někde nějakou principiální chybu, a samozřejmě ani to, jak jsi přišel na to, že já dělám někde nějakou principiální chybu.

Můj výpočet dává plus minus ten samý výsledek jako tvůj výpočet, když se do něj dosadí hodnoty ze zadání. Ty tam dosazuješ jiné hodnoty a tvrdíš, že to máme oba špatně. Nechápu to, prostě.