Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Zdravím,
chtěl bych se ujistit jestli používám správný postup pro výpočet relativní chyby pro zadání:
Nalezněte objem válce a jeho relativní chybu při d=0,5 +-0,01 a h = 2,0 +-0,01.
Vypočítám se relativní chybu h = 0,01/2 = 0,005 a relativní chybu d = 0,01/0,5=0,02.
Následně vypočítám objem po dosazení do vzorce V = pí*(d/2)^2*h = 0,392
Jako poslední vypočítám relativní chybu pro objem ve vzorci pí/4 * d^2 *h -> 0 + 2*0,02 + 0,005 = 0,045
Jako poslední relativní chybu objemu vynásobím s objemem a získám absolutní chybu = 0,392*0,045 = 0.01764.
Je tento postup správný?
Děkuji za odpověď
Offline
↑ Newtoo:
Pokud pracujeme s neúplnými čísly, dochází k hromadění chyb.
Nechť jsme veličinu x změřili s jistou chybou x+-delta x
y=f(x)
Platí obecný vzorec: delta y = abs(f'(x))*delta x
Relativní chyba je pak: (delta y)/y
Nejsem si jist správností postupu uvedeného výše.
viz též můj web: www.tucekweb.info (derivace funkce)
Pro absolutní chybu objemu válce platí: dV=pi*2*r*dr*h + pi*r^2*dh
Pro relativní chybu objemu válce platí: dV/V = 2*(dr/r) + (dh/h) (asi je ten postup správný)
Offline
↑ Richard Tuček:
Jenže tady jsou ty veličiny dvě a parciální derivace bych do toho asi netahal.
Offline
↑ Newtoo:
Ahoj,
určitě ne. Jestliže změříš rozměry tělesa ma setiny jednotek, dejme tomu decimetrů, absolutní chyba objemu bude určitě větší než setina litru.
Offline
↑ Newtoo:
Vezmi minimální hodnot d, h a spočítej s nimi objem. Bude to minimální objem.
Totéž s maximálními hodnotami - to bude maximální objem.
Skutečný objem pak bude někde mezi minimálním a maximalním objemem.
Offline
↑ Eratosthenes:
Potřeboval bych právě spočítat tu relativní chybu. O objem mi vůbec nejde
Offline
Newtoo napsal(a):
↑ Eratosthenes:
Potřeboval bych právě spočítat tu relativní chybu. O objem mi vůbec nejde
A jak chceš spočítat chybu objemu bez objemu? To je jako kdybys řekl, že spočítáš sedadla v autobusu a ten autobus k tomu vůbec nepotřebuješ.
Offline
Já jsem zase zastáncem parciální derivace používat, protože aspoň hned vidíme, v čem je problém.
Takže když máme mezi dvěma veličinami vztah [mathjax]z = f(x,y)[/mathjax], tak vztah pro úplný diferenciál je
[mathjax]\Delta z = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \Delta y[/mathjax]
Takže u absolutních chyb je to celkem zřejmé, jak se má postupovat. Pro relativní chyby je otázka, jestli lze vůbec napsat nějaký obecný vztah. Já bych řekl, že snad ani né.
Pokud budeme mít nějakou jednoduchou funkci, jako třeba [mathjax]z = x\cdot y[/mathjax], můžeme to zkusit určit.
Parciální derivace budou: [mathjax]z_x = y[/mathjax], [mathjax]z_y = x[/mathjax]
takže pro celkovou chybu dostaneme (úplný diferenciál)
[mathjax]\Delta z = y \cdot \Delta x + x \cdot \Delta y[/mathjax]
a když to podělíme z = x.y, dostaneme [mathjax]\frac{\Delta z}{z} = \frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y}[/mathjax], což je myslím očekávané a všeobecně známé.
Offline
Pokud budeme mít funkci typu [mathjax]z = kx^2y[/mathjax], tak parciální derivace budou:
[mathjax]z_x = 2kxy[/mathjax]
[mathjax]z_y = kx^2[/mathjax]
úplný diferenciál bude
[mathjax]\Delta z = 2kxy\cdot\Delta x + kx^2 \cdot \Delta y[/mathjax]
Když to zkusíme podělt z, tak dostaneme
[mathjax]\frac{\Delta z}{z} = \frac{2kxy\cdot}{kx^2y} \Delta x + \frac{kx^2}{kx^2y} \cdot \Delta y = 2\frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y}[/mathjax]
Takže bych řekl, že by to mohlo být i správně, jak je to v prvním příspěvku.
Offline
Eratosthenes napsal(a):
↑ Newtoo:
určitě ne. Jestliže změříš rozměry tělesa ma setiny jednotek, dejme tomu decimetrů, absolutní chyba objemu bude určitě větší než setina litru.
No, ty intuitivní představy mohou být někdy dost zavádějící.
Když budeme mít krychli o straně 1dm (s přesností 0.01dm) tak objem bude V = x^3, tedy 1dm^3, s přesností ... no, nebude to 0.01, ale 0.03. Což je ale pořád zhruba to samé.
Protože
[mathjax]\large (x+\Delta x)^3 = x^3 + 3x^2 \Delta x + 3x \Delta x^2 + \Delta x^3 \doteq x^3 + 3x^2 \Delta x[/mathjax]
V jednoduchých případech to jde i bez těch parciálních derivací, a aspoň vidíme, co vlastně děláme, že jsem členy obsahující vyšší mocniny Dx zanedbali. To bude samozřejmě fungovat jen když je Dx malé ve srovnání s x. Pro relativní chybu 30% a víc už tyhle vztahy pro relativní chyby tak úplně neplatí. Je to prostě přiblížení prvního řádu (linearizované).
Offline
Eratosthenes napsal(a):
Newtoo napsal(a):
↑ Eratosthenes:
Potřeboval bych právě spočítat tu relativní chybu. O objem mi vůbec nejdeA jak chceš spočítat chybu objemu bez objemu? To je jako kdybys řekl, že spočítáš sedadla v autobusu a ten autobus k tomu vůbec nepotřebuješ.
Což mi připomíná příklad, když natáhneme drát kolem země (kolem rovníku) a pak ho v jednom místě přestřihneme a prodloužíme o 1 metr, o kolik se zvedne nad zem (když by tedy mohl). A výsledek je [mathjax]1/2\pi[/mathjax], tedy nějakých 16cm. A velikost země k tomu taky znát nepotřebujeme.
Protože když [mathjax]o = 2 \pi r[/mathjax], tak [mathjax]\Delta o = 2 \pi \Delta r[/mathjax]
Offline
MichalAld napsal(a):
No, ty intuitivní představy mohou být někdy dost zavádějící.
Když budeme mít krychli o straně 1dm (s přesností 0.01dm) tak objem bude V = x^3, tedy 1dm^3, s přesností ... no, nebude to 0.01, ale 0.03. Což je ale pořád zhruba to samé.
Nevím, kam představy zavádějí tebe, ale ta moje intuitivní není.
On nemá krychli o straně 1dm, ale válec o úplně jiných rozměrech. A jestli je pro tebe třikrát větší chyba "skoro to samé", tak pro mě tedy ne. U toho válce ta chyba vzroste skoro čtyřikrát a pokud bychom škrtli výšku a byla to koule, tak relativní chyba objemu je skoro 13 procent. A to už "skoro to samé" určitě není.
>> Což mi připomíná příklad, když natáhneme drát kolem země (kolem rovníku)
To ti připománá trochu něco jiného, protože délka kružnice je pouhý násobek poloměru, takže tam stačí právě jenom ten násobek, protože přímka je všude stejně rovná. Kdybys měl spočítat, o kolik se liší objemy těch koulí, tam poloměr určitě potřebuješ. Derivace kubocké paraboly v bodě blízko nuly vypadá nějak a blízko stovky je to něco úplně jiného...
Offline
Eratosthenes napsal(a):
On nemá krychli o straně 1dm, ale válec o úplně jiných rozměrech. A jestli je pro tebe třikrát větší chyba "skoro to samé", tak pro mě tedy ne. U toho válce ta chyba vzroste skoro čtyřikrát a pokud bychom škrtli výšku a byla to koule, tak relativní chyba objemu je skoro 13 procent. A to už "skoro to samé" určitě není
Nevím jak jsi přišel na chybu 13%, průměr má s chybou 2% a výšku s chybou 0.5%, objem válce bude tedy s chybou 4.5%. Úplně stejně jako by šlo o strany krychle. Na rozměrech vůbec nezáleží.
Jak jsi přišel na těch 13%?
Offline
MichalAld napsal(a):
Jak jsi přišel na těch 13%?
To jsem vysvětlil už tady.
↑ Eratosthenes:
MichalAld napsal(a):
Na rozměrech vůbec nezáleží.
Aha, tak proto je průměr, čtyřikrát menší než výška, změřený se čtyřikrát větší relativní chybou! A proto se průměr Země dá změřit se stejnou absolutní chybou jako ten váleček - na setinu milimetru! Jen se divím, že už to dávno někdo neudělal.
Rád pomůžu každému, kdo to potřebuje. Ale abych se tady hrdě a zbytečně dohadoval s někým, kdo si o pomoc neřekl a komu pomoci zřejmě není, na to je můj čas fakt trochu drahý...
Offline
↑ Eratosthenes:
OK, já to teda zkusím dle tvého postupu:
Nalezněte objem válce a jeho relativní chybu při d=0,5 +-0,01 a h = 2,0 +-0,01.
Akorát teda budu počítat že jde o hranol a né o válec. Na relativní chyby to nemá vliv.
Takže nominální výsledek je
[mathjax]V = d^2h= 0.5^2 \cdot 2 = 0.5dm^3[/mathjax]
Když vezmi třeba tu horní tolernaci, tak dostanu
[mathjax]V = d^2h= 0.51^2 \cdot 2.01 = 0,522801dm^3[/mathjax]
Odchylka je tedy [mathjax]\Delta V = 0,0228dm^3[/mathjax]
a relativní chyba
[mathjax]\frac{\Delta V}{V} = \frac{0,0228}{0.5}=0.0456=4.56 \%[/mathjax]
Je to malinko víc než těch 4.5% která vyjdou při použití diferenciálu, což se ví, ale s tím se tak nějak počítá. Rozhodně to není 13%. Takže znovu, jak jsi na těch 13% vlastně přišel?
Offline
↑ MichalAld:
Mylně jsem se domíval, že po mém minulém závěru pochopíš, že už se o tom nechci bavit. Mýlil jsem se - nepochopils. Takže ještě jednou a opravdu už naposled.
Trochu to shrnu:
04. 11. 2024 11:18 založí Newtoo téma na výpočet chyby při výpočtu objemu válce z rozměrů změřených s abs. chybou 0,01. Napsal svůj výpočet s tím, že abs. chyba objemu mu vychází 1,7%
04. 11. 2024 14:09 - 14.16 jsem mu napsal, že výpočet je špatně a že abs. chyba objemu bude určitě větší. Naznačil jm mu správný postup, na který zcela stačí učivo ZŠ.
05. 11. 2024 14:54 Píšeš, že počítat absolutní chybu je lepší parciálními derivacemi a že relativní chyba nejspíš spočítat ani nepůjde. Za pár minut k tomu dodáváš, že Newtoo to má nejspíš správně a za další okamžik to "dokazuješ" výpočtem pro krychli, kde ti chyba vychází třikrát větší, což je ale prý skoro totéž.
05. 11. 2024 19:19 odpovídám, že krychle není válec, u kterého jsem odhadl chybu větší skoro čtyřikrát a pokud bychom měřili kouli o stejném průměru jako válec, tak relativní chyba objemu může být i 13%.
05. 11. 2024 22:54 nevíš, jak jsem přišel na 13%, znovu operuješ válcem, u kterého to vyjde 4.5%, což je prý úplně stejné jako 3% u krychle, protože na rozměrech vůbec nezáleži. Tak to už máme stejná čísla tři - 1%, 3% a 4,5%. A znovu se ptáš, jak jsem přišel na 13%.
06.11. 2024 14.28 odkazuji na svůj náznak zcela primitivního řešení ze 04. 11. 2024 14:09 - 14.16
06.11 2024 18.00 přistoupils na primitivní ZŠ postup a spočítals relativní chybu pro zadaný válec. Den předtím nevěděls ani to, že to půjde vůbec nějak spočítat. Teď píšeš, že se ví dokonce i to, že to vyjde trochu víc než přes diferenciál,
Samozřejmě, že se to ví. A měl by to vědět každý student prvního ročníku VŠ. On totiž ten "diferenciální" vzorec je méně přesný než ten záklaďácký zlomek. Jednoduše proto, že bere jenom diferenciál objemu místo toho, aby vzal celou Taylorovu řadu. A výhodný je jenom u složitých vzorců, kde je výpočet totálního diferenciálu rychlejší než výpočet mezí toho vzorce.
A potřetí se u výpočtu pro válec ptáš, kde jsem vzal těch 13%. Takže buď nerozumíš psanému textu, anebo trpíš tunelovým viděním - vidíš provokativních 13% a text okolo toho vůbec nevnímáš. Psal jsem to jako reakci na tvůj omyl, že chyba nezávisí ani na tvaru (místo válce brals krychli), ani na velikosti (viz tvoje zeměkoule omotaná drátem).
Psal jsem: když místo válce vezmeš kouli stejného průměru, jako ten válec... Pokud tomu nerozumíš, myslím tím toto:
Takže pokud spočítáme relativní chybu objemu koule, která má změřený průměr se stejnou absolutní chybou jako ten válec, je to místo 4,5% cca 6,5%. Pokud se stejnou absolutní chybou změříme té kouli místo průměru poloměr, dostáváme (abych to tedy spočítal, když o to tak stojíš)
[mathjax]V_{max}={4 \over 3}\pi\cdot r_{max}^3={4 \over 3}\pi\cdot 0,26^3 \approx 0,0736; V_{min}={4 \over 3}\pi\cdot r_{min}^3={4 \over 3}\pi\cdot 0,24^3 \approx 0,0579[/mathjax]
[mathjax]RE={V_{max}-V_{min} \over V_{max}+V_{min}}\cdot 100 = { 0,0736-0,0579 \over 0,0736+0,0579}\cdot 100\approx 13 [/mathjax]
Jestliže tedy relativní chyba nezávisí ani na tvaru, ani na velikosti tělesa, pak jsou chyby 1%, 3%, 4,5%, 6,5% a 13% úplně stejné. Zajímavé - jako matematik musím konstatovat, že tato implikace je pravdivá. Takže máš vlastně pravdu.
A tímto své příspěvky k tomuto tématu definitivně uzavírám a nezbývá mi než doufat, že to konečně pochopíš.
Konec. Finito. Howgh.
Offline
Eratosthenes napsal(a):
↑ MichalAld:
Mylně jsem se domíval, že po mém minulém závěru pochopíš, že už se o tom nechci bavit. Mýlil jsem se - nepochopils. Takže ještě jednou a opravdu už naposled.
Trochu to shrnu:
04. 11. 2024 11:18 založí Newtoo téma na výpočet chyby při výpočtu objemu válce z rozměrů změřených s abs. chybou 0,01. Napsal svůj výpočet s tím, že abs. chyba objemu mu vychází 1,7%
04. 11. 2024 14:09 - 14.16 jsem mu napsal, že výpočet je špatně a že .
Předpokládám, že jsi myslel 0.017 a né 1,7%. Absolutní chyba přece není v procentech.
No a když už to počítáš pro kouli, mohls to rovnou spočítat pro zadaný válec abys zjistil, že uvedený výsledek je zhruba správný.
Offline
Zkusil jsem to teda spočítat přesně. Dle vztahu pro válec, [mathjax]V = \frac{\pi}{4}d^2h[/mathjax]
vyšlo mi následující:
d=0.51 h=2.01 => V = 0.410
d=0.50 h=2.00 => V = 0.392
d=0.49 h=1.99 => V = 0.375
A dle tvého vztahu
[mathjax]RE={V_{max}-V_{min} \over V_{max}+V_{min}}\cdot 100 = { 0,410-0,375 \over 0,410+0,375}\cdot 100\approx 4.5 \%[/mathjax]
Vychází to dokonce méně než při použití linearizovaného vztahu.
Absolutní chyba je (Vmax - Vmin) / 2 = 0.0176.
Pořád nechápu, jak jsi přišel na to, že autor dotazu dělá někde nějakou principiální chybu, a samozřejmě ani to, jak jsi přišel na to, že já dělám někde nějakou principiální chybu.
Můj výpočet dává plus minus ten samý výsledek jako tvůj výpočet, když se do něj dosadí hodnoty ze zadání. Ty tam dosazuješ jiné hodnoty a tvrdíš, že to máme oba špatně. Nechápu to, prostě.
Offline