Matematické Fórum

↑ Newtoo:
Pokud pracujeme s neúplnými čísly, dochází k hromadění chyb.
Nechť jsme veličinu x změřili s jistou chybou x+-delta x
y=f(x)
Platí obecný vzorec: delta y = abs(f'(x))*delta x
Relativní chyba je pak: (delta y)/y

Nejsem si jist správností postupu uvedeného výše.

viz též můj web: www.tucekweb.info (derivace funkce)

Pro absolutní chybu objemu válce platí: dV=pi*2*r*dr*h + pi*r^2*dh
Pro relativní chybu objemu válce platí: dV/V = 2*(dr/r) + (dh/h) (asi je ten postup správný)

↑ Newtoo:

Ahoj,

určitě ne. Jestliže změříš rozměry tělesa ma setiny jednotek, dejme tomu decimetrů, absolutní chyba objemu bude určitě větší než setina litru.

↑ Eratosthenes:

Potřeboval bych právě spočítat tu relativní chybu. O objem mi vůbec nejde

Já jsem zase zastáncem parciální derivace používat, protože aspoň hned vidíme, v čem je problém.

Takže když máme mezi dvěma veličinami vztah [mathjax]z = f(x,y)[/mathjax], tak vztah pro úplný diferenciál je

[mathjax]\Delta z = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \Delta y[/mathjax]

Takže u absolutních chyb je to celkem zřejmé, jak se má postupovat. Pro relativní chyby je otázka, jestli lze vůbec napsat nějaký obecný vztah. Já bych řekl, že snad ani né.


Pokud budeme mít nějakou jednoduchou funkci, jako třeba [mathjax]z = x\cdot y[/mathjax], můžeme to zkusit určit.

Parciální derivace budou: [mathjax]z_x = y[/mathjax], [mathjax]z_y = x[/mathjax]

takže pro celkovou chybu dostaneme (úplný diferenciál)

[mathjax]\Delta z = y \cdot \Delta x + x \cdot \Delta y[/mathjax]

a když to podělíme z = x.y, dostaneme [mathjax]\frac{\Delta z}{z} = \frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y}[/mathjax], což je myslím očekávané a všeobecně známé.

Eratosthenes napsal(a):

↑ Newtoo:
určitě ne. Jestliže změříš rozměry tělesa ma setiny jednotek, dejme tomu decimetrů, absolutní chyba objemu bude určitě větší než setina litru.

No, ty intuitivní představy mohou být někdy dost zavádějící.

Když budeme mít krychli o straně 1dm (s přesností 0.01dm) tak objem bude V = x^3, tedy 1dm^3, s přesností ... no, nebude to 0.01, ale 0.03. Což je ale pořád zhruba to samé.

Protože

[mathjax]\large (x+\Delta x)^3 = x^3 + 3x^2 \Delta x + 3x \Delta x^2 + \Delta x^3 \doteq x^3 + 3x^2 \Delta x[/mathjax]

V jednoduchých případech to jde i bez těch parciálních derivací, a aspoň vidíme, co vlastně děláme, že jsem členy obsahující vyšší mocniny Dx zanedbali. To bude samozřejmě fungovat jen když je Dx malé ve srovnání s x. Pro relativní chybu 30% a víc už tyhle vztahy pro relativní chyby tak úplně neplatí. Je to prostě přiblížení prvního řádu (linearizované).

MichalAld napsal(a):

No, ty intuitivní představy mohou být někdy dost zavádějící.

Když budeme mít krychli o straně 1dm (s přesností 0.01dm) tak objem bude V = x^3, tedy 1dm^3, s přesností ... no, nebude to 0.01, ale 0.03. Což je ale pořád zhruba to samé.

Nevím, kam představy zavádějí tebe, ale ta moje intuitivní není.

On nemá krychli o straně 1dm, ale válec  o úplně jiných rozměrech. A jestli je pro tebe třikrát větší chyba "skoro to samé", tak pro mě tedy ne. U toho válce ta chyba vzroste skoro čtyřikrát a pokud bychom škrtli výšku a byla to koule, tak relativní chyba objemu je skoro 13 procent. A to už "skoro to samé" určitě není.


>> Což mi připomíná příklad, když natáhneme drát kolem země (kolem rovníku)

To ti připománá trochu něco jiného, protože délka kružnice je pouhý násobek poloměru, takže tam stačí právě jenom ten násobek, protože přímka je všude stejně rovná. Kdybys měl spočítat, o kolik se liší objemy těch koulí, tam poloměr určitě potřebuješ. Derivace kubocké paraboly v bodě blízko nuly vypadá nějak a  blízko stovky je to něco úplně jiného...

MichalAld napsal(a):

Jak jsi přišel na těch 13%?

To jsem vysvětlil už tady.

↑ Eratosthenes:

MichalAld napsal(a):

Na rozměrech  vůbec nezáleží.

Aha, tak proto je průměr, čtyřikrát menší než výška, změřený se čtyřikrát větší relativní chybou! A proto se průměr Země dá změřit se stejnou absolutní chybou jako ten váleček  - na setinu milimetru! Jen se divím, že už to dávno někdo neudělal.   

Rád pomůžu každému, kdo to potřebuje. Ale abych se tady hrdě a zbytečně dohadoval s někým, kdo si o pomoc neřekl a komu pomoci zřejmě není, na to je můj čas fakt trochu drahý...