Matematické Fórum

vanok · 14. 06. 2012 12:12 — Editoval vanok (23. 06. 2012 17:01)

Ako mi poradili kolegovia, otvoril som specialne vlakno pre toto zabavne cvicenie

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=295073#p295073

EDIT: Tak uz je to dokazane, a mozete si tam precitat dokaz od kolegu OiBobik-a, ako aj moj.

vanok · 21. 06. 2012 00:10

Michael Atiyah, Fields-ova medaila 1966

tu hovori o KRASE V MATEMATIKE

http://video.google.com/videoplay?docid … 8813393554

vanok · 22. 06. 2012 20:05 — Editoval vanok (23. 06. 2012 17:07)

Tento vysledok je (podla mna velmi pekny)

Nech $(x_i)$ su vsetky pozitivne korene rovnice $\tan(x)=x$ uporiadane stupajuco.
Mame $\sum_{i=1}^{+\infty}\frac 1 {x_i^2}= \frac 1 {10}$ .

Davam ho tu bez dokazu, ale ak niekto mysli, ze
si s tym moze poradit, nech nevaha, dat svoje riesenie tu

vanok · 25. 06. 2012 22:59 — Editoval vanok (30. 06. 2012 12:17)

Dnes tu davam zaujimavu poznamku, o peknej metode ako vypocitat sucet nejakej rady vdaka vete o residus.

Na vypocet suctu rady vseobecneho clenu $u_n$ , musime vyjadrit tuto radu ako sucet residus jednej funkcie. Pre kazde cele n, treba vyjadrit clen $u_n$ tak aby bol residu pre $z=n$ nejakej funkcie viazanu na $u_n$

Preto pouzime funkciu $cotan (\pi z)f(z)$ kde $f(z)$ je definovana ako $u_n$ , kde nahradime celu premenu $n$ , komplexnou premenou $z$ (kde $f(n)=u_n$ )

Tato metoda, sa zda byt umela,ale ked si uvedomime ze jej singularity su cele relativne cisla $n \in \mathbb{Z}$ lebo $\sin (n\pi)=0$ a naviac
$Res (\pi \cotg (\pi z)f(z), n) = Res (\frac {\pi \cos(\pi z)}{\sin (\pi z)}f(z),n)= \frac {\pi \cos(\pi z)}{\pi \cos (\pi z)}f(n)=f(n)=u_n$

Preto sucet residus je sucet radu $u_n$ . Ostava nam este definovat uzavretu krivku vo vnutri ktorej su vsetki body $z = n$ , a konecne vypocitat hodnotu integralu.

Poznamka: pridam tu este jeden konnretny priklad, len co budem mat viac casu.

vanok · 27. 06. 2012 14:58 — Editoval vanok (27. 06. 2012 15:06)

Tak ten slubeny priklad ↑ vanok:
Vypocitajte sucet rady $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac 1 {1+ n^2}$
Na vypocet tohto suctu uvazujme nasledujuci integral:
$\int_{C}\frac {\pi cotan (\pi z)}{1+ z^2} dz=\int_{C}\frac {\pi \cos (\pi z)}{\sin(\pi z )(1+ z^2)} dz$
kde $C$ je obvod stvorca daneho jeho vrcholmy: $\pm (N+\frac 12)\pm i(N+\frac 12)$
Poly funkcie $f(z)=\frac {\pi \cos (\pi z)}{\sin(\pi z )(1+ z^2)}$
su vsetki cele cisla $n$ , take ze $-N \leq n \leq N$ a $i; -i$ ( odmocniny cisla $-1$ )
Veta o residus nam da
$\int_{C}\frac {\pi \cos (\pi z)}{\sin(\pi z )(1+ z^2)} dz=2i \pi ( \sum_{n=-N}^{N} Res (f,n) + Res (r,-i) + Res (f,i))$
vypocitajme vsetki residus
$Res (f,n)= \frac {\pi \cos(n\pi)}{\pi \cos(n\pi)(1+n^2) +2n\sin(n\pi))}=\frac 1{1+n^2}$
$Res (f,-i) =\frac {\pi \cos(-i\pi)}{-2i\pi \sin(-i\pi)}=\frac {\pi}2 $\frac {e^{\pi}+e^{-\pi}}{e^{-\pi}-e^{\pi}}$$
$Res (f,i))=\frac {\pi \cos(i\pi)}{2i\pi \sin(i\pi)}=\frac {\pi}2 $\frac {e^{-\pi}+e^{\pi}}{e^{-\pi}-e^{\pi}}$$
Po dosadeni mame
$\int_{C}\frac {\pi \cos (\pi z)}{\sin(\pi z )(1+ z^2)} dz=2i \pi $2\sum_{n=1}^N \frac 1{1+n^2} +1 +\pi\frac {e^{\pi}+e^{-\pi}}{e^{-\pi}-e^{\pi}} $$ .

Ostava nam vypocitat integral:

zvysok dokoncim neskor

vanok · 29. 06. 2012 20:34 — Editoval jelena (30. 06. 2012 15:26)

Pokracovanie a koniec slubenych vypoctov.
Na vypocet integralu pouzijeme nerovnosti na obvode stvorca vrcholov
$±$N + \frac 12$; ± i$N + \frac 12$$ kde $N$ je cele cislo..
Tento stvorec, orientovany positivne obsahuje body $z=N$ , kde $-N \leq n \leq N$ .

Lahko ukazeme rovnost:

$\left|\frac{\cos (2\pi z)}{\sin (2\pi z)}\right|^2=\frac{\cosh (2\pi y )+\cos(2\pi x)}{\cosh (2\pi y )-\cos(2\pi x)}$
Na zvyslych stranach stvorca, ktore oznacime $Z_{\pm}$ mame $x=\pm$N+\frac 12$$ , a tak $\cos $2 \pi x$=-1$
co nam da:

$\left|\frac{\cos (2\pi z)}{\sin (2\pi z)}\right|^2=\frac{\cosh (2\pi y )-1}{\cosh (2\pi y )+1}<1$
Naviac mame tuto nerovnost:
$\left|\frac 1 {1+z^2}\right|<\frac{1}{$N-\frac 12$^2}$

$\left|\int_{Z_{\pm}}\frac {\pi \cos (\pi z)}{\sin (\pi z )(1+ z^2)} \d z\right| \leq \frac{2N+1}{$N-\frac{1}{2}$^2}$ $\rightarrow 0$ pre $N\rightarrow \infty$

Podobne na vodorovnych stranach mame, ktore oznacime $V_{\pm}$ mame:
$y = ±$N +\frac 12$$ .

$\left|\frac{\cos (2\pi z)}{\sin (2\pi z)}\right|^2\leq \frac{\cosh (2N\pi +\pi )+1}{\cosh (2N\pi +\pi )-1}=K(N)\rightarrow 1$ pre $N\rightarrow \infty$
Na koniec
$\left|\int_{V_{\pm}}\frac {\pi \cos (\pi z)}{\sin (\pi z)(1+ z^2)}\d z\right|\leq \frac {(2N + 1)K(N)}{N^2}\rightarrow 0$ pre $N\rightarrow \infty$

Cize sme dokazali
$\int_{C}\frac {\pi \rm{cotan} (\pi z)}{1+ z^2} \d z\rightarrow 0$ pre $N\rightarrow \infty$
co nam okamzita da
$\sum_{n=1}^N \frac 1{1+n^2}=\frac { \pi }2 \cdot $\frac {e^{ \pi}+e^{ -\pi}}{e^{ -\pi}-e^{ \pi}} - \frac 12$$

vanok · 06. 07. 2012 13:14

Pozdravy vsetkym.

Tu som dal jeden dokaz tykajuci sa Bell-ovych cisiel
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=298085#p298085

vanok · 14. 07. 2012 15:51 — Editoval vanok (15. 07. 2012 15:33)

Vynimka:
nejde mimoriadne o nieco matematicky najkrajsie.

Ale nieco GENIALNE pre LaTeX $\mathscr{LaTeX}$

http://detexify.kirelabs.org/classify.html

Andrejka3

Ahoj.
Na procházce jsem narazila na tuhle hru

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

. Fascinuje mě její jednoduchost a to, že se tam vyskytuje zlatý řez. Sama nevím, odkud se tam bere, ale kdyby někdo znal vysvětlení, ráda bych si to přečetla.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 18. 07. 2012 10:06

Ahoj ↑ Andrejka3:,
Tato varianta HRA NIM (jednoduchsia) bola do hlbky studovana
http://en.wikipedia.org/wiki/Nim
http://fr.wikipedia.org/wiki/Jeux_de_Nim
Mozno porovnat obe HRY by bolo zaujimave.

vanok · 25. 07. 2012 23:34

Toto je pekna tema
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=48971

vanok · 28. 07. 2012 12:17 — Editoval vanok (07. 08. 2012 13:57)

Pojem UHOL.

Otvoril som nove vlakno na tuto temu.
Je to iste zajuimave mat odpovede na tuto temu.
Podla mna opdoved je zavisla na urovni:
Zakladna skola,
prve rocniky

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

posledne rocniky

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Stredna skola

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Vysoka skola.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Andrejka3 · 28. 07. 2012 16:48

↑ vanok:
To jsem tedy zvědavá, kam to povede. S tím pojmem mám velké problémy - kdysi jsem se snažila o nějakou axiomatizaci, že bych se dostala k úhlu, ale nikdy to nebylo uspokojivé. A tak mám pocit, že všechno jde do kruhu a nikde není pořádně napsané, co z čeho plyne.

vanok · 28. 07. 2012 20:36

Ahoj ↑ Andrejka3:,
Ano uplne z tebou suhlasim.
Povedal by som, ze definicie, co poznam, su ale priliz strucne (dokonca niekedy aj nepresne) alebo priliz pedantna.
V prispevku #118 doeditujem moznu odpoved na kazdu uroven...
Iste potom vyjadris tvoj nazor.
Ale nevahaj reagovat vo specialnom vlakne co som otvoril.

Rumburak · 03. 08. 2012 09:34

↑ vanok:, ↑ Andrejka3:
Ahoj. Způsob definice bude záviset i na tom, co chceme pojmem "úhel" vyjádřit: zda množinu bodů ohraničenou dvěma polopřímkami
se společným počátkem nebo vzájemný "metrický" vztah takových polopřímek.

vanok · 03. 08. 2012 11:57

↑ Rumburak:
Pozdravujem, v prispevku #118, som zacal malu syntezu na tuto temu
Postupne to popridavam sem. A dam odkazy aj do temy co som otvoril na tento ucel.
Ked to dokoncim, iste sa nam bude lepsie diskutovat napriklad na tejto baze.

Dakujem, ze sa zaujimas o tuto temu.
Pekny WE

vanok · 13. 08. 2012 18:07

Mala uvaha o troch geometriach: Euklidovska, afinna, projektivna a ich invariatnych transformaciach.

Euklidovska geometria je taka, ze ich grupa invariatnych trasformacii, respektuje vzdialenost... a naviac aj uhly ( ale opacne tvrdenie neplati, lebo napriklad homografie respectuju uhly ale nie vzdialenosti)

Pridam tu neskor priklady nejakych euklidovskych problemov.

Afinna geometria je taka, ze ze jej grupa invariantov, konservuje pomer
Napriklad, prostriedok usecky ...
Aj tu pridam nekor nejake take priklady

Projektivna geometria je taka, ze ze jej grupa invariantov, konservuje dvojpomer dlzok... a priamky (kolinearitu)
Tu tiez pridam nekor nejake take priklady

Poznamka: Na tuto ( peknu temu) budem pokracovat, len ak budu uz na toto nejake reakcie.

vanok · 30. 08. 2012 17:04

Dnes vam urobim radost z malym prazdninovym cvicenim.

Dokazte ze determinant danej stvorcovej matice typu $(n;n)$ z koeficientamy v $\{-1,1 \}$ je nasobkom cisla $2^{n-1}$

Podla mna dokaz nie je tazky, ale tento vyrok prekvapi viac ako jedneho.

Na riesenie pouzite skor toto vlakno:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=301347#p301347

vanok · 12. 09. 2012 13:56

Tu je zaujimave geometricke cvicenie
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=302582#p302582
A podnych problemoch som uz vysie viac krat pisal...

Matematické Fórum

#101 14. 06. 2012 12:12 — Editoval vanok (23. 06. 2012 17:01)

Re: najkrajsia teorema

#102 21. 06. 2012 00:10

Re: najkrajsia teorema

#103 22. 06. 2012 20:05 — Editoval vanok (23. 06. 2012 17:07)

Re: najkrajsia teorema

#104 25. 06. 2012 22:59 — Editoval vanok (30. 06. 2012 12:17)

Re: najkrajsia teorema

#105 27. 06. 2012 14:58 — Editoval vanok (27. 06. 2012 15:06)

Re: najkrajsia teorema

#106 29. 06. 2012 20:34 — Editoval jelena (30. 06. 2012 15:26)

Re: najkrajsia teorema

#107 29. 06. 2012 21:16 Příspěvek uživatele jelena byl skryt uživatelem jelena. Důvod: oprava TeX - vyřešeno

#108 29. 06. 2012 21:36 Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem jelena. Důvod: oprava TeX - vyřešeno

#109 29. 06. 2012 21:41 Příspěvek uživatele jelena byl skryt uživatelem jelena. Důvod: oprava TeX - vyřešeno

#110 29. 06. 2012 22:01 Příspěvek uživatele jelena byl skryt uživatelem jelena. Důvod: oprava TeX - vyřešeno

#111 29. 06. 2012 22:09 — Editoval vanok (29. 06. 2012 22:22) Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem jelena. Důvod: oprava TeX - vyřešeno

#112 30. 06. 2012 00:52 Příspěvek uživatele jelena byl skryt uživatelem jelena. Důvod: oprava TeX - vyřešeno

#113 06. 07. 2012 13:14

Re: najkrajsia teorema

#114 14. 07. 2012 15:51 — Editoval vanok (15. 07. 2012 15:33)

Re: najkrajsia teorema

#115 18. 07. 2012 08:47 — Editoval Andrejka3 (18. 07. 2012 08:55)

Re: najkrajsia teorema

#116 18. 07. 2012 10:06

Re: najkrajsia teorema

#117 25. 07. 2012 23:34

Re: najkrajsia teorema

#118 28. 07. 2012 12:17 — Editoval vanok (07. 08. 2012 13:57)

Re: najkrajsia teorema

#119 28. 07. 2012 16:48

Re: najkrajsia teorema

#120 28. 07. 2012 20:36

Re: najkrajsia teorema

#121 03. 08. 2012 09:34

Re: najkrajsia teorema

#122 03. 08. 2012 11:57

Re: najkrajsia teorema

#123 13. 08. 2012 18:07

Re: najkrajsia teorema

#124 30. 08. 2012 17:04

Re: najkrajsia teorema

#125 12. 09. 2012 13:56

Re: najkrajsia teorema

Zápatí