Matematické Fórum

BakyX · 03. 01. 2014 12:34 — Editoval BakyX (03. 01. 2014 12:35)

Dokážte, že ak má nejaký polynóm s racionálnymi koeficientami koreň $\sqrt[3]{k}$ , kde $k$ nie je tretia mocnina celého čísla, tak potom má imaginárny koreň.

OiBobik · 03. 01. 2014 16:38

↑ BakyX:

Ahoj,

1) je $k$ celé číslo? (jestli ne, tak je hned vidět protipříklad)
2) "imaginární" kořen je "komplexní, který není reálný", je to tak?

BakyX · 04. 01. 2014 05:52

↑ OiBobik:

1) No áno, celé číslo, ktoré nie je kocka. V opačnom prípade naozaj $(\sqrt{2})^3$ a $x^2-8$ dáva protipríklad.

2) Podľa WIKI áno :)

vanok · 04. 01. 2014 11:23

↑ BakyX:,
Poznamka, na toto cvicenie sa da vyhodne pouzit pojem minimalneho polynomu.
http://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_polynomial

jarrro · 04. 01. 2014 11:39

možno je to hlúposť ale

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 04. 01. 2014 12:46

Ahoj ↑ jarrro:,
Najprv pozitivny novy rok.
Aj ja to to tak vidim.
Lebo $x^3-k$ minimalny polynom, je generator idealu polynomov ktore sa anuluju v $\sqrt[3]{k}$ .

BakyX · 04. 01. 2014 12:49

↑ jarrro:

Je to tak, len to treba dokázať.

↑ vanok:

Tá teória by ma celkom zaujímala, lenže najbližších 5 rokov ju zrejme nebudem mať šancu pochopiť. V tomto prípade ukázať, že $x^3-k$ je ten minimálny polynóm, ide aj stredoškolsky.

OiBobik

Ano, to je přesně to řešení.

Dá se to ukázat takto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

A poznámka: Ano, takto to řešení je skutečně jenom konkatenace několika důkazů o minimálních polynomech v trochu konkrétnějším zasazení. Zajímavější asi bude, když přidá Bakyx svoje řešení (zejména, jestli využívá ono eukleidovské dělení se zbytkem, nebo ne).