Matematické Fórum

112.
napoveda 2:

↑ stuart clark:
it is not really a limit, but here is a solution

(113)

(114) : Evaluation of [mathjax]\displaystyle \int \frac{2(x^2\sec^2(x)-3)}{(x\sec^2(x)-3\tan(x))^2}dx[/mathjax]

Hi ↑ vanok:.
[mathjax2]S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sinh{2^n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{e^{2^n}-e^{-2^n}}[/mathjax2]
Solution:

↑ stuart clark:
(116)

Bych tak jako řekl, že by to mohlo být to [mathjax]\alpha[/mathjax].

Pokud tedy ta limita existuje. Což úplně neumím dokázat. Ale pokud existuje, tak by k ní měla konvergovat i řada vybraných n, tedy n=1, 10, 100, 1000 ...

A pak je celkem zřejmé, že když je [mathjax]\alpha = xxx,xxxxxx...[/mathjax]

tak pro
n=1   => xxx / 1 = xxx
n=10  => xxxx / 10 = xxx,x
n=100  => xxxxx / 100 = xxx,xx
n=1000  => xxxxxx / 1000 = xxx,xxx
atd...

To x samozřejmě představuje libovolnou číslici 0-9.

MichalAld
Pripominam, ze [mathjax]n\alpha =[n\alpha ]+\{n\alpha \}[/mathjax]
( lopatisticky povedane = Cast pred desarnnou cierkou + cast za desatinnou ciarkou)
a tak [mathjax]\frac {[n\alpha]}n =\frac{n\alpha }n - \frac {\{n\alpha \}}n=\alpha - \frac {\{n\alpha \}}n[/mathjax].
Akoze [mathjax]\{n\alpha \} \lt 1[/mathjax] lahko dostanes hladanu limitu.

Cvicenie 118.
Iste viete, ( dokazat,)ze [mathjax]\lim\sum_{n=1}^{+\infty }\frac 1 n =+\infty [/mathjax] .
Nech A je podmnozina prirodzenych cisiel, ktore sa pisu bez cislic 9.
Dokazte[mathjax]\sum_{n\in A}[/mathjax], ze converguje.

↑ vanok:

Ahoj. Oznacme [mathjax] A_k [/mathjax] mnozinu vsech [mathjax]k[/mathjax]-cifernych cisel neobsahujici cislici 9.
Z kazdeho [mathjax] n\in A_k[/mathjax] muzeme vytvorit 9 ruznych cisel z mnoziny [mathjax] A_{k+1} [/mathjax] pridanim cislice 0-8 na konec cisla [mathjax] n[/mathjax].
Pro jejich soucet plati:

[mathjax] {\displaystyle \sum_{j=0}^8\frac{1}{10n+j} \; \leq \; \sum_{j=0}^8\frac{1}{10n} \; = \; \frac{9}{10n} } [/mathjax]

Potom plati:

[mathjax] {\displaystyle \sum_{n\in A}\frac{1}{n} \; = \; \sum_{n\in A_1}\frac{1}{n}  + \sum_{k=2}^\infty\sum_{n\in A_k}\frac{1}{n} \; = \; \sum_{n\in A_1}\frac{1}{n}  + \sum_{k=2}^\infty\sum_{n\in A_{k-1}}\sum_{j=0}^8\frac{1}{10n+j} \; \leq \; \sum_{n\in A_1}\frac{1}{n}  + \sum_{k=2}^\infty\sum_{n\in A_{k-1}}\frac{9}{10n} \; = \;  \sum_{n\in A_1}\frac{1}{n}  + \frac{9}{10}\sum_{k=1}^\infty\sum_{n\in A_{k}}\frac{1}{n} \; = \; \sum_{n\in A_1}\frac{1}{n}  + \frac{9}{10}\sum_{n\in A}\frac{1}{n}} [/mathjax]

Takze

[mathjax] {\displaystyle   \sum_{n\in A}\frac{1}{n}  \; \leq \; 10 \sum_{n\in A_1} \frac{1}{n} \; \approx \; 27.2 } [/mathjax]

↑ laszky: Len drobná poznámka: V poslednom kroku bol od oboch strán nerovnosti odčítaný súčet radu, ktorého konvergencia nebola v predchádzajúcom dokázaná.