Matematické Fórum

112.
napoveda 2:

↑ stuart clark:
it is not really a limit, but here is a solution

(113)

(114) : Evaluation of ${\displaystyle \int \frac{2(x^2{\sec }^2(x)-3)}{(x{\sec }^2(x)-3\tan (x){)}^2}dx}$

Hi ↑ vanok:.
$$S=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sinh 2^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{e^{2^n}-e^{-2^n}}$$
Solution:

↑ stuart clark:
(116)

Bych tak jako řekl, že by to mohlo být to $\alpha$.

Pokud tedy ta limita existuje. Což úplně neumím dokázat. Ale pokud existuje, tak by k ní měla konvergovat i řada vybraných n, tedy n=1, 10, 100, 1000 ...

A pak je celkem zřejmé, že když je $\alpha =xxx,xxxxxx...$

tak pro
n=1   => xxx / 1 = xxx
n=10  => xxxx / 10 = xxx,x
n=100  => xxxxx / 100 = xxx,xx
n=1000  => xxxxxx / 1000 = xxx,xxx
atd...

To x samozřejmě představuje libovolnou číslici 0-9.

MichalAld
Pripominam, ze $n\alpha =[n\alpha ]+\{n\alpha \}$
( lopatisticky povedane = Cast pred desarnnou cierkou + cast za desatinnou ciarkou)
a tak $\frac{[n\alpha ]}{n}=\frac{n\alpha }{n}-\frac{\{n\alpha \}}{n}=\alpha -\frac{\{n\alpha \}}{n}$.
Akoze $\{n\alpha \}<1$ lahko dostanes hladanu limitu.

Cvicenie 118.
Iste viete, ( dokazat,)ze $lim\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=+\mathrm{\infty }$ .
Nech A je podmnozina prirodzenych cisiel, ktore sa pisu bez cislic 9.
Dokazte$\sum _{n\in A}\frac{1}{n}$, ze converguje.

↑ vanok:

Ahoj. Oznacme $A_k$ mnozinu vsech $k$-cifernych cisel neobsahujici cislici 9.
Z kazdeho $n\in A_k$ muzeme vytvorit 9 ruznych cisel z mnoziny $A_{k+1}$ pridanim cislice 0-8 na konec cisla $n$.
Pro jejich soucet plati:

${\displaystyle \sum _{j=0}^8\frac{1}{10n+j}\le \sum _{j=0}^8\frac{1}{10n}=\frac{9}{10n}}$

Potom plati:

${\displaystyle \sum _{n\in A}\frac{1}{n}=\sum _{n\in A_1}\frac{1}{n}+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n\in A_k}\frac{1}{n}=\sum _{n\in A_1}\frac{1}{n}+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n\in A_{k-1}}\sum _{j=0}^8\frac{1}{10n+j}\le \sum _{n\in A_1}\frac{1}{n}+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n\in A_{k-1}}\frac{9}{10n}=\sum _{n\in A_1}\frac{1}{n}+\frac{9}{10}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n\in A_k}\frac{1}{n}=\sum _{n\in A_1}\frac{1}{n}+\frac{9}{10}\sum _{n\in A}\frac{1}{n}}$

Takze

${\displaystyle \sum _{n\in A}\frac{1}{n}\le 10\sum _{n\in A_1}\frac{1}{n}\approx 27.2}$

↑ laszky: Len drobná poznámka: V poslednom kroku bol od oboch strán nerovnosti odčítaný súčet radu, ktorého konvergencia nebola v predchádzajúcom dokázaná.

Pozdravujem.
Mala poznamka.
Na riesenie cvicelnie 118, mozte tiez jednoducho vyuzit ze prva cislica n v  A_n je medzi 1 a 8 ( 8 moznosti) ostane su medzi 0 a 8 (9 moznosti).