Matematické Fórum

PitBull~--!

prosim jak se resi tenhle priklad: pocet vsech korenu rovnice sin6x=sin3x v intervalu <0,pi> je roven cislu... ?

Kondr · 20. 11. 2009 17:16

Ze vzorce pro dvojnásobný argument rozepíšeme levou stranu jako 2sin(3x)cos(3x), rovnice má proto po úpravě tvar
sin(3x)(2cos(3x)-1)=0
Kdy je sin(3x)=0?
Kdy je cos(3x)=1/2?

zdenek1 · 20. 11. 2009 17:19

↑ PitBull~--!:
Můžeš to odhadnout z grafu. Nebo vypočítat
$\sin6x-\sin3x=0\ \Leftrightarrow\ 2\cos\frac{6x+3x}2\sin\frac{6x-3x}2=0$
$\cos\frac{9x}2=0$ $x=\frac\pi9+2k\frac\pi9=(2k+1)\frac\pi9$ to ti dává 5 řešení v daném intervalu
$\sin\frac{3x}2=0$ $x=2k\frac\pi3$ to ti dává 2 řešení v daném intervalu

PitBull~--! · 20. 11. 2009 17:46

ale podle vysledku by to melo vyjit neco jinyho. Tady mam napsany, ze je to za e) a to je zadna z predchozich odpovedi neni spravna. za a)2 b)5 c)3 d)4

zdenek1 · 20. 11. 2009 17:52

↑ PitBull~--!:
No samozřejmě, když je řešení 7. (2+5)

PitBull~--! · 20. 11. 2009 18:20

↑ zdenek1:
jee omlouvam se, nedaval sem se pozor

PitBull~--!

me to vyslo zase trochu jinak... u $\cos\frac{9x}2=0$ sem vynasobil 2kou a vydelil sem to 9ti a vyslo mi x=pi/9+4kpi/9

halogan · 20. 11. 2009 19:03

↑ PitBull~--!:

Původní perioda je kpí, ne 2kpí.

PitBull~--! · 20. 11. 2009 19:15

↑ halogan:
kpi je jenom u tangens a kotangens ne? tady je to dokonce i napsany http://cs.wikipedia.org/wiki/Goniometrick%C3%A1_rovnice

zdenek1

↑ PitBull~--!:
Nesmíš věřit všemu, co píšou na internetu. Nakresli si graf fce $y=\cos x$ a podívej se, s jakou periodou se opakuje nula.

Kosinus a sinus mají periodu $2\pi$ . Ale tohle je něco jiného, to není perioda funkce, ale perioda, se kterou se opakuje kořen této konkrétní rovnice.

halogan · 20. 11. 2009 23:06

Nebo si v hlavě představ jednotkovou kružnici.

Já bych všechny ty wikipedie zakázala... (menší skorokulturní vložka)

PitBull~--! · 20. 11. 2009 23:47

zkusil jsem to znovu spocitat a tentokrat mi vyslo u kosinusu k=4 (4reseni) a u sinusu u kpi k=1 a u pi+kpi k=0, takze mi to dohromady davalo 6 reseni. kde jsem zase udelal chybu?

KennyMcCormick

↑ PitBull~--!:
1. $sin6x=sin3x\wedge x\in[0;\pi]$
2. $3x=t$
3. $sin2t=sint$
4. $2sintcost=sint$
5. $2cost=1$
6. $cost=\frac12$
7. $t=\frac\pi3+2k\pi \wedge k\in\mathbb{Z}$
8. $3x=\frac\pi3+2k\pi$
9. $x=\frac\pi9+\frac23k\pi$
10. $x=\frac\pi9\vee x=\frac79\pi$

To jsou zatím 2 řešení. Protože jsem v pátém kroku udělal němý předpoklad a vyřadil případy, kdy $sint=0$ , připravil jsem se o několik řešení rovnice. Spočítám si, o kolik.

$sint=0$
$t=0+k\pi\wedge k\in\mathbb{Z}$
$3x=0+k\pi$
$x=0+\frac13k\pi$
$x=0\vee x=\frac\pi3\vee x=\frac23\pi\vee x=\pi$

Další čtyři řešení navíc, už máme celkem 6 :)

Při přechodu z šestého řádku na sedmý je klíčové uvědomit si, že $cosx=cos(-x)$ . Proto dalším alternativním sedmým řádkem bude:

7. $t=-\frac\pi3+2k\pi \wedge k\in\mathbb{Z}$

A dále:

$3x=-\frac\pi3+2k\pi$
$x=-\frac\pi9+\frac23k\pi$
$x=\frac59\pi$

Právě jsme získali sedmé řešení.

PitBull~--! · 21. 11. 2009 10:48

↑ zdenek1:
ja jsem tomu rozumel tak, ze kdyz je to jenom pul kruh <0,pi>, tak u sinusu a cosinusu bude misto 2kpi jenom kpi a u tangens a cotangens bude kpi/2?

halogan · 21. 11. 2009 10:57

Zopakuj si teorii.

jelena · 21. 11. 2009 11:20

↑ halogan:

Nostalgie a pravidla...

Taková znění zadání jsou v přijímacích testech na VŠE (určitě si to pamatujeme :-) Kolega halogan vysvětloval pomocí univerzální teorienávod, jak se má číst zadání a jak se má použit výsledek k volbě spravné odpovědí.

Chce se někomu udělat (nebo vyhledat? - máme toho hodně, ale ne všechno je vzorové) další vzorová řešení?

----
Ke konkrétnímu zadání -

halogan napsal(a):
Zopakuj si teorii.

Souhlas, neboť tato úloha se nejlépe řeší pomocí grafu goniometrické funkce - naznačuje i kolega Zdeněk1 (neboť se nikdo neptá na hodnoty kořenů, ale na jejich počet v intervalu). Doufám, že nenarušuji kvalitní výklad - už odcházím na tradiční cestu Opavou (ovšem dnes v práci budu mít velký časový prostor, neb tam budu celý vikend hlavně přebírat výsledky práce našeho programátora, ale hlavně zajišťovat, aby netrpel hlady a neklesal na myslí). Tak se snad konečně připojim k debatě o pravidlech. Pozdrav :-)

Matematické Fórum

#1 20. 11. 2009 16:56 — Editoval PitBull~--! (20. 11. 2009 17:00)

goniometrie

#2 20. 11. 2009 17:16

Re: goniometrie

#3 20. 11. 2009 17:19

Re: goniometrie

#4 20. 11. 2009 17:46

Re: goniometrie

#5 20. 11. 2009 17:52

Re: goniometrie

#6 20. 11. 2009 18:20

Re: goniometrie

#7 20. 11. 2009 18:54 — Editoval PitBull~--! (20. 11. 2009 18:55)

Re: goniometrie

#8 20. 11. 2009 19:03

Re: goniometrie

#9 20. 11. 2009 19:15

Re: goniometrie

#10 20. 11. 2009 23:01 — Editoval zdenek1 (20. 11. 2009 23:03)

Re: goniometrie

#11 20. 11. 2009 23:06

Re: goniometrie

#12 20. 11. 2009 23:47

Re: goniometrie

#13 21. 11. 2009 02:15 — Editoval KennyMcCormick (21. 11. 2009 02:16)

Re: goniometrie

#14 21. 11. 2009 10:48

Re: goniometrie

#15 21. 11. 2009 10:57

Re: goniometrie

#16 21. 11. 2009 11:20

Re: goniometrie

halogan napsal(a):

Zápatí