Matematické Fórum

Raubbbyy · Fyzika

Lampa je umıstena nad kulatym stolem o polomeru R v jeho stredu. Urcete optimalnı
vysku lampy nad stolem tak, aby osvetlenı na okraji stolu bylo maximalnı. Predpokladame,
ze je zdroj dostatecne maly, vlnoplochu povazujeme za kulovou. chcel by som si overit postup, pocital som s tym ze intenzita kresa podla $\frac{1}{r^2}$ zistil som si ze $r = \sqrt{R^2+x^2}$ kde x je vyska lampy od stredu stola a dostal som vztah ze $I = \frac{1}{R^2+x^2}$ potom som to vynasobil sinusom uhlu pod ktorym svetlo dopada na roh stolu teda $I = \frac{sin\varphi }{R^2+x^2}$ spocital som si hodnotu sinusu a vyslo mi $sin(\varphi ) = \frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}$ dosadil do povodneho vzorca a dostal som $I = \frac{x}{\sqrt{(R^2+x^2)^3}}$ vypocital som si extrem pre x a dostal som vysledok ze $x = \frac{R}{\sqrt{2}}$ je tento postup spravny ? dakujem za odpovede

mybtmrrw · Vysoká škola: úvod do studia

Prosím vás, potřeboval bych vypočítat $I_{ef}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^Ti^{2}(t)\mathrm{d}t}$
z průběhu funkce //forum.matweb.cz/upload3/img/2014-10/15536_troj.jpg
a pokud možno obecně pomocí $\Delta I$ a i s postupem(a žádné další hodnoty nejsou zadány). Děkuji

Formol · Fyzika

↑↑ OmarCruss:
Děcka, proč nechodíte na přednášky? Odvození efektivní hodnoty trojúhelníkové hodnoty vám určitě ukazovali...
Tedy výchozí rovnost přes jednu periodu je:

$\int_{0}^{2\tau} R i^2(t)\,\mathrm{d}t = RI^2 2\tau$

Odpor můžu zkrátit, integrovat lze jen přes půl periody (souměrnost funkce i(t)):

$2 \int_{0}^{\tau} i^2(t)\,\mathrm{d}t = I^2 2\tau$

Nyní je i(t) konstantní funkce, pro kterou platí i(i) = -Imax a má směrnici 2Imax/tau. Dosazením do integrálu dostanu rovnici:
$\int_{0}^{\tau} (\frac{2 I_{max}}{\tau}\, t - I_{max} )^2\,\mathrm{d}t = I^2 \tau$

Pokud jsem teď v rychlé integraci z hlavy neudělala chybu, tak po integraci levé strany rovnice dostanete:
$\frac{1}{3}I_{max}^2\tau = I^2 \tau$

A tedy po jednoduché úpravě:
$I = \frac{\sqrt{3}}{3} I_{max}$

edit: Oprava značení.

jelena · Střední škola

Zdravím,

↑↑ misaH: v tomto tématu se nejspíš nesoutěží - není nijak podnětné. Kolegové soutěží v sekcích Zajímavých úloh, nebo občas v tématu přidají příspěvek, že znají více efektivní řešení - příklad.

Pre praktické účely nie je dôležitý počet krokov, ale súhra ponúknutého riešenia s tým, čo má tazatel z matematiky v hlave.

Praktickým účelem rozumím použití v nějakém praktickém výpočtu, např. v programu (zde i profil kolegy tomu přispívá). Počet kroku v procesu je velmi důležité hledisko. Zkušenost samozřejmě také - ale to se dá doškolovat. Špatně navržený neefektivní proces je rozhodně horší.

Vcházím z toho, co kolega má na vstupu a nabízím využití vzorců, co se probírají ve všech kurzech analytické geometrie SŠ. Naproti tomu kolega ↑↑ Cheop: provádí krok zpět (k souřadnicím bodů) a nabízí použití vzorce na odchylku přímek ve směrnicovém tvaru (a to se studuje v menším rozsahu). V postupu má kroků více a jeho postup se obtížněji algoritmizuje. Nakonec kolega Cheop může sám porovnat postupy. Můj příspěvek není žádná kritika.

ale súhra ponúknutého riešenia s tým, čo má tazatel z matematiky v hlave.

tak podle sdělení autora tématu souhru hodnotí celkem sebekriticky ↑↑ příspěvek 6:. Ale je na VŠ, nabídla jsem odkazy, tedy souhru lze vylaďovat. V započaté souhře také pokračuji i v dalším příspěvku. Nakonec to mohutným akordem završuje kolega ↑↑ Eratosthenes: (jelikož s příspěvkem ↑↑ 5: a ↑↑ 7: pěkně ladí). Což neznamená, že si nemůžeme poslechnout originální sólo kolegy ↑↑ Cheop:.

↑↑ Eratosthenes: děkuji za přehledné vypsání. Na soutěž jsem nezapomněla, jen co doladím, tak doplním anketu :-)

zdenek1 · Střední škola

↑↑ jelena:
Obecně, když máš rovnici $a\sin x+b\cos x=c$ , tak ji vydělíš $\sqrt{a^2+b^2}$ , a pokud bude $\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\in\langle-1;1\rangle$ , tak to bude fungovat vždy.
Samozřejmě, když vyjde $\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ tabulková hodnota sinu, tak je to velmi efektní i efektivní.

OT: A co teprve, kdyby to bylo Elèn!

barnabas_666 · Fyzika

Edit: Z dalšího zdroje mi bylo řečeno, že mám v tomto případě počítat ztrátový výkon klasickým vztahem jakou součin rezistoru v obvodu a kvadrátu efektivní hodnoty proudu. Není mi jasné, jak by se pak počítal jiný druh výkonu (činný, zdánlivý...), ale co už. Tímto všem děkuji a asi bych to tu uzavřel.

creat · Fyzika

Jalovy vykon Q=U*I*sin (fí)

Zdanlivy vykon je sucin efektivnych hodnot napatia a prudu S=U*I

barnabas_666 · Fyzika

Čau, potřeboval bych pomoci s tímto úkolem. Níže přikládám odkaz na stránku, kde si ho můžete vyzkoušet (při problémech s Javou snižte její zabezpečení v prohlížeči). Jde mi o jedinou věc, jak zjistím hodnotu průměrného ztrátového výkonu? Teda za předpokladu, že je nenulová. Volný překlad zadání zde:

Předpokládejme ideální zdroj napájení. Graf zobrazuje napětí na zdroji (červená křivka) a proud procházející obvodem (modrá křivka) jako funkci času (napětí je uvedeno ve voltech, proud je uveden v mA a čas je uveden v sekundách). Stanovte hodnoty efektivního napětí, efektivní hodnotu proudu, hodnotu neznámého rezistoru a průměrný ztrátový (jalový) výkon pro každý ze 3 obvodů (a, b, c).

Dík moc.

Odkaz

Rumburak · Střední škola

Ahoj.

Pukud bychom chtěli postupovat "větvením", tak bych doporučival

1. $x+5-k = x-2$ , ....

2. $x+5-k = -(x-2)$ , ....

Efektivnější ale myslím bude umocnit rovnici na druhou - tím se odstraní absolutní hodnoty.
Dalšími úpravami dostaneme v podstatě lineární rovnici s parametrem.

ho77a · Algoritmy a programování

Na vstupu je zadáno šest celých čísel, která představují dvě kalendářní data ve tvaru
Den1 Mesic1 Rok1
Den2 Mesic2 Rok2
Obě data jsou korektní, první z nich je v kalendáři dříve než druhé (tzn. je starší). Určete počet dní, který uplynul nebo uplyne mezi oběma daty. Při výpočtu počítejte s přestupnými roky. Výsledný počet dní se nemusí vejít do proměnné typu integer, použijte typ longint. Hodnotí se nejen správnost výsledků, ale i efektivita zvoleného postupu řešení.

Příklady:
- pro vstup 3 3 2011 5 3 2011 bude správným výsledkem číslo 2
- pro vstup 15 1 2000 15 1 2001 bude správným výsledkem číslo 366
- pro vstup 1 1 2000 1 1 2010 bude správným výsledkem číslo 3653

ho77a · Algoritmy a programování

Na vstupu je zadáno šest celých čísel, která představují dvě kalendářní data ve tvaru
Den1 Mesic1 Rok1
Den2 Mesic2 Rok2
Obě data jsou korektní, první z nich je v kalendáři dříve než druhé (tzn. je starší). Určete počet dní, který uplynul nebo uplyne mezi oběma daty. Při výpočtu počítejte s přestupnými roky. Výsledný počet dní se nemusí vejít do proměnné typu integer, použijte typ longint. Hodnotí se nejen správnost výsledků, ale i efektivita zvoleného postupu řešení.

Příklady:
- pro vstup 3 3 2011 5 3 2011 bude správným výsledkem číslo 2
- pro vstup 15 1 2000 15 1 2001 bude správným výsledkem číslo 366
- pro vstup 1 1 2000 1 1 2010 bude správným výsledkem číslo 3653

mák · Algoritmy a programování

Zdravím, Pascal je pro mě španělská vesnice, ale myslím, že má být tento řádek takto:

Code:

for (double i=0; i<1; i+=0.00001)

a nebo předefinování x:

Code:

double x=-0.00001;

Poznámka:
Nebyla by efektivnější Newtonova metoda?

Kód v maximě:

Code:

NajdiX(ps):=block([x:0,z:1],
    while is(abs(x-z)>1e-13) do (
        z: x,
        x: float(x-((x+3)^5-15*(x-2)^3-30*(x-4)^2-ps)/(5*(x+3)^4-60*(x-4)-45*(x-2)^2))
    ),x
);

Funkce NajdiX s parametrem ps - hodnota pravé strany rovnice,
opakuje dokud se výsledek neliší od skutečnosti o více jak 1e-13,
výsledek je vypočítaný maximálně na šestý pokus.

George37 · Vysoká škola: úvod do studia

↑↑ RayDoyle:

První metoda se realizuje nejlépe v Excelu (nebo jiném tabulkovém procesoru), kde jednoduše vypíšeš finanční toky pro jednotlivé měsíce, kdy na počátku každého čtvrtletí připíšeš na účet platbu 6000 Kč a zároveň částku na účtě složeně úročíš každý měsíc s efektivní měsíční úrokovou mírou, kterou snadno dopočteš z nominální jako 0.048/12.

Trik pro metodu ekvivalentní platby je vyjádřit si čtvrtletí platbu 6000 Kč pomocí měsíční platby X Kč. Částku X dopočteš tak, aby se koncová hodnota předlhůtního důchodu s platbou X Kč/měsíc na 3 měsíce a s úrokovou sazbou 0.048/12 rovnala koncové hodnotě cash flow s platbami 6000 v prvním měsíci, 0 ve druhém a 0 ve třetím s úrokem opět 0.048/12. Z této rovnosti si stačí vyjádřit a dopočíst X a následně dopočíst koncovou hodnotu předlhůtního důchodu s platbou X kč/měsíc na 12 měsíců s úrokovou sazbou 0.048/12.

Idea metody ekvivalentní sazby je velmi podobná metodě předchozí. Spočívá v přepočtení měsíční efektivní úrokové míry na efektivní čtvrtletní úrokovou míru (provádí se dvoukrokově, měsíční efektivní musíš nejdříve přepočítat na roční efektivní a z ní dopočítat čtvrtletní efektivní). Nyní již opět postačí využít vzorečku pro koncovou hodnotu polhůtního důchodu s platbou 6000 Kč/čtvrtletí na 4 čtvrtletí se čtvrtletní efektivní úrokovou sazbou.

Výsledek pro všechny 3 metody musí být pochopitelně stejný!!

Tak snad je to srozumitelné a hodně štěstí :)

mtptak · Fyzika

Dělá příroda (na úrovni částic) opravdu všechno tak efektivně, jak jen to jde?
Nebo by to šlo ještě efektivněji?

Na makroskopické úrovni to tak nedělá. Např. mravenci umí najít velmi krátké cesty mezi mraveništěm a
potravou, ale mnohdy to nejsou ty nejkratší možné cesty. (tj. my lidi umíme najít kratší nebo stejně dlouhé cesty)

Existuje nějaký zákon, který popisuje chování částic a u něhož je jasné, že příroda si nevybrala to nejlepší řešení? Např. máme direrenciální rovnici, která popisuje chování systému několika málo částic. Systém se pohybuje po trajektorii ve fázovém prostoru, která minimalizuje funkcionál energie, energie má v tomto případě hodnotu 2J. My jsme ale počítali a našli jsme jinou (a netriviální) trajektorii téhož systému, po níž kdyby se systém pohyboval, měl by ještě menší energii, měl by energii 1J. Ale příroda si z nějakého důvodu vybrala optimum s větší hodnotou energie.

Existuje nějaký možná spíše jev, než zákon, kdy systém mikrosvěta vždy "jedná" efektivně, ale ne tím nejlepším možným způsobem? Jako kdyby příroda přehlédla (a možná "úmyslně") globální optimum a využila jen lokální (které není globálním) optimum?

Rumburak · Střední škola

↑↑ buff:

Z vlastní dlouholeté zkušenosti programátora mohu poradit toto:

Máš-li ambice stát se "umělcem v programování", pak se studiu matematiky nevyhýbej. Ne proto, abys uměl integrály, ale k rozvíjení
vlastního logického myšlení. "Umělecká hodnota" programátorského díla není jen o barevných efektech, ale spíše o tom, v jaké struktuře
jsou případné informace na obrazovce uspořádány, zda nejsou podstatné informace zastíněny nepodstatnými, zda ovládání aplikace je
logické a přehledné, zda přehlednost není narušována nevhodnou grafikou a pod. Většina webových aplikací, které znám (zejména
v oblasti obchodu), má v těchto bodech problémy - patrně právě proto, že jejich autorům či zadavatelům chyběl smysl pro logiku.
Matemetikou vypěstované myšlení mi mnohokrát pomohlo nalézt efektivní algoritmus i tam, kde o matematiku vůbec nešlo.

PS. Na housle se už učit nebudu, protože Paganiniho Capriccia umět nepotřebuji. Ostatně klavír mi stačí...

mikca101 · Vysoká škola: úvod do studia

Zdravím!

Mám za úkol pomocí metody nejmenších čtverců vypočítat geocentrické souřadnice [x,y,z] místa pozorovatele.

Znám hodnoty z celkem šesti satelitů GPS, tedy následující přeurčený systém rovnic:

$\sqrt{(x_1-x)^2+(y_1-y)^2+(z_1-z)^2}=r_1^2\\ ...\\ \sqrt{(x_6-x)^2+(y_6-y)^2+(z_6-z)^2}=r_6^2\\$

s neznámými $x, y, z$ a známými $x_i, y_i,z_i, r_i$ má nějaké aproximační řešení.

Nevěděl by někdo, jak se nějak efektně a hlavně efektivně dopočítat výsledku?

Předem díky!

Lososák · Vysoká škola: úvod do studia

Zdravím,
mám za úkol toto zadání:
Při ověřování dvou algoritmů stochastického prohledávání na stejné úloze potřebovaly k dosažení cíle počty kroků, které jsou uvedeny v soubor data_ku2.xls. Posuďte, zda oba algoritmy jsou stejně efektivní (zda jsou střední hodnoty počtu kroků k nalezení řešení shodné).
Návod: Užijte dvouvýběrový t-test.

Můžu tedy říct, že nulový předpoklad h0 je tedy stejná efektivita algoritmů?
Potom mi ve výsledku t-testu vyšlo:
p = P(|X| ≥ 1,5782) ≈ 0,11, tedy p ≥ α, při α = 0,05
což znamená, že hypotézu nelze zamítnout..
Je možné, že by to bylo správně?

micky999 · Fyzika

Zdravím, mám problém s výpočtem efektivní hodnoty proudu. Střední hodnota mi vyšla správně nula, ale eketivní ne a ne vyjít... Může mi prosím někdo poradit? předem díky.

Rovnice přímek:
$(0;\frac{T}{6}): u = \frac{6Um}{T}*t$
$(\frac{T}{6};\frac{T}{3}):u=Um$
$(\frac{T}{3};\frac{T}{2}):u=0$
$(\frac{T}{2};\frac{2T}{3}):u=-Um$
$(\frac{2T}{3};\frac{5T}{6}):u=\frac{6Um}{T}t-5Um$
$(\frac{5T}{6};T):u=0$

Díky moc za rady.

Pavel Brožek · Zajímavé úlohy z algebry

Jak byste spočítali

$2^{F_n}\mod p,$

kde $p$ je prvočíslo a n přirozené číslo? $F_n$ značí n-té Fibonacciho číslo. Zajímal by mě nějaký efektivní algoritmus, který by spočítal výsledek v rozumném čase i pro hodnoty asi $p\sim10^{8}$ a $n\sim10^{20}$ , např. $p=179424673$ a $n=13^{19}$ .

JohnPeca18 · Algoritmy a programování

↑↑ brnopcman:
Nevim co by byl efektivni algoritmus. Ale muj napad by byl nasledujici. Pokial $k$ je pocet druhov minci a $m_1, \dots, m_k$ su hodnoty roznych minci. Potom nech $H(n)=\sum_{i=1}^{k}H_i(n)$ je optimalna pocet minci pre cislo n. $H_i(n)$ oznacuje pocet minci $m_i$ v tejto kombinaci. A teda plati $\sum_{i=1}^{k}m_iH_i(n)=n$
Potom plati rekurzia $H(n)=1+\min_{i\in \{1,\dots, k\}}{H(n-m_i)}$ .
Teda cislo n vieme poskladat optimalne takym sposobom, ze pridame 1 mincu $m_i$ k nejakej optimalnej kombinacii $H(n-m_i)$ . Zakladom rekurzie bude $H(0)=0$ . Teraz ide o to ako najlepsie naprogramovat vypocet tejto rekurzie. Nenapada ma zatial lepsi sposob ako pocitat to od jednotky pre vsetky cisla az po n. Zaznamenavat si hodnoty a kombinacie pre vsetky cisla n. A postupne z nich vypocitavat najlepsiu kombinaciu az po n. Ked uz to mam, tak mam vsetky kombinacie pre hodnoty $\leq n$ takze dalsi vypocet nastane az ked natrafime na cislo ktore je ostre vacsie ako n.
Mozno je ale aj rychlejsi zposob ale nic ma nenapada.

brnopcman · Algoritmy a programování

Ahoj, mám takový problém nevím jak vyřešit následující úkol :

Jsme v zemi, ve které se používají mince v hodnotě 1, 15, 18 a 49. Vytvořte program, který
dostane jako parametr (či v souboru) přirozené číslo a jako výstup dá číslo, kolik nejméně
potřebujeme mincí k zaplacení dané částky.
Pozor: uvědomte si, že hladový algoritmus fungující u nás (s mincemi 1,2,5,10,20,50) jdoucí
od nejvyšší hodnoty mince "dokud to jde", není v této zemi správný!
Například: částku 103 byste tímto algoritmem zaplatili jako 49+49+1+1+1+1+1 (7mincí), ale
správné řešení je 49+18+18+18 (4mince)
Více bodů dostanete, zobecníte-li program a hodnoty mincí v oné zemi budete načítat z
textového souboru.
Více bodů dostanete za efektivnější (rychleji počítající) algoritmus. Částka kterou chcete
rozdělit může být v řádech milionů.
Test pro hodnoty mincí 1,15,18,49:
Vstup (částka) Výstup (nejmenší počet mincí k zaplacení)
30 => 2
103 => 4
202 => 7
987 => 24
10000 => 208
14010 => 296
140103 => 2863
9531602 => 194526

Předem děkuji.

Jelena: upřesnění, že nejde o aktuální soutěž:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

LukasM · Fyzika

↑↑ johnnyl:
Žiju v domnění, že třeba kalkulačky pomocí TP počítají hodnoty třeba goniometrických funkcí. Možná ale, že existuje nějaká efektivnější metoda.

Jinak pokud ti jde o fyziku, tak tam je příkladů hromada. Jako velmi jednoduchý příklad poslouží pohybová rovnice matematického kyvadla (hmotný bod na nehmotném závěsu). Ta vypadá takhle:
$\frac{d^2\varphi}{dt^2}+\frac{g}{l}sin\varphi=0$ . Ta sice analytické řešení má, ale pokud se použije linearizace toho sinu, je to podstatně příjemnější výpočet - ovšem za cenu toho, že pro větší úhly se řešení čím dál více vzdaluje od skutečného, protože aproximace je stále nepřesnější.

mmanourova · Fyzika

Primární cívkou transformátoru prochází proud, f=50Hz. V jádru transformátoru prochází $\Phi = 2*10^{-3}$ Wb. Určete efektivní hodnotu střídavého napětí indukovaného v sekundární cívce se 100 závity...

Díky moc :)

jelena · Vysoká škola: úvod do studia

↑↑ Weush:

děkuji, ano - vstup je jeden (rozpočet), výstupy 2 (zisk, počty zákazníků) - původně jsem si nevšimla ještě drobného textu nad tabulkou (podle čeho se hodnotí výkon).

Teď bych postupovala podle materiálu (a podle toho jak si situaci hodnocení představuji). Brala bych nejlépe položenou Liberec jako hraniční bod oblasti efektivity (a jediný efektivní bod). Žádná jiná není lepši alespoň v jednom ukazateli (není ani napravo od Liberce, ani výš.) Proto bodem Liberec vedu vodorovnou čáru k ose y (y=20) a svislou čáru k ose x (x=170).

Další města jsou uvnitř oblasti. Pokud jsem dobře spojovala, tak Liberec, Olomouc a Hradec Králové jsou na stejné přímce z počátku do Ol, HK, L (tedy zde Liberec je vzorová (peer) jednotka (a skutečná). Pro Ostravu a Brno můžeme mít pouze hypotetické vzory.
Pro Ostravu hypotetický vzor bude na vodorovné čáře nad Ostravou, pro Brno - na svislé čáře napravo od Brna.

Odpovídá to Tvé představě? Děkuji.

barca33 · Fyzika

Voltmetr zapojený v obvodu ukazuje efektivní hodnotu napětí 60 V. Jaká je amplituda napětí ? Zkoušela jsem 60 V dosadit do rovnice u=Umsin $\omega$ t , ale bohužel nevíme další hodnoty. Nebo to mám spočítat přes nějaký jiný vzoreček ?

Matematické Fórum

Fyzika » optika - efektivne ulozenie lampy » 31. 10. 2014 23:16

Vysoká škola: úvod do studia » efektivni hodnota trojuhelnikoveho signalu » 29. 10. 2014 21:46

Fyzika » ohrev vinutia » 20. 10. 2014 15:41

Střední škola » Výpočet bodu v trojuholníku » 21. 08. 2014 19:45

Střední škola » Goniometrická rovnice » 08. 08. 2014 20:19

Fyzika » Průměrný ztrátový výkon v obvodu střídavého proudu s rezistorem » 06. 05. 2014 11:06

Fyzika » Průměrný ztrátový výkon v obvodu střídavého proudu s rezistorem » 04. 05. 2014 20:49

Fyzika » Průměrný ztrátový výkon v obvodu střídavého proudu s rezistorem » 04. 05. 2014 11:32

Střední škola » rovnice s parametrem a absolutní hodnotou » 11. 04. 2014 16:36

Algoritmy a programování » pascal pomocí polí rozdíl dní v kalendáři » 18. 11. 2013 22:55

Algoritmy a programování » pascal rozdíl dní mezi dvěma » 18. 11. 2013 17:13

Algoritmy a programování » Rovnice s intervalem pro řešení » 18. 11. 2013 17:05

Code:

Code:

Code:

Vysoká škola: úvod do studia » Finanční matematika - budoucí hodnota spoření » 11. 11. 2013 18:46

Fyzika » Kašle příroda na globální optima i na mikroskopické úrovni? » 01. 09. 2013 13:54

Střední škola » Integrál » 21. 08. 2013 09:34

Vysoká škola: úvod do studia » Aproximace průsečíku 6 koulí v R^3 » 13. 06. 2013 02:35

Vysoká škola: úvod do studia » Dvouvýběrový t-test » 05. 06. 2013 22:46

Fyzika » Efektivní hodnota napětí » 08. 05. 2013 14:38

Zajímavé úlohy z algebry » Zbytek 2^Fibonacci(n) po dělení prvočíslem » 22. 04. 2013 00:29

Algoritmy a programování » Mince » 19. 04. 2013 15:17

Algoritmy a programování » Mince » 19. 04. 2013 14:09

Fyzika » Aproximace, Taylorův polynom » 09. 04. 2013 15:55

Fyzika » Určení napětí » 31. 03. 2013 17:51

Vysoká škola: úvod do studia » Hodnocení efektivnosti - metoda DEA » 30. 03. 2013 20:50

Fyzika » amplituda napětí » 21. 03. 2013 15:18

Zápatí